ein Quotient einer Gruppe, der auf der Menge der stabilen Punkte existiert.

Es sei K ein Körper der Charakteristik 0 und A eine K-Algebra. Wenn die reduktive Gruppe G auf dem affinen Schema Spec(A) operiert, dann ergibt die kanonische Abbildung Spec(A) → Spec(A^G) einen guten Quotienten. Wenn A eine endlich erzeugte K-Algebra ist, ist A^G eine endlich erzeugte K-Algebra. Wenn alle Orbits abgeschlossen sind und dieselbe Dimension haben, ist Spec(A) → Spec(A^G) ein geometrischer Quotient.

Beispiel: Die lineare Gruppe G der invertierbaren (2 × 2)-Matrizen mit Einträgen in ℂ operiert auf der Varietät

\begin{eqnarray}X=\text{Spec}({\mathbb{C}}[{X}_{11},{X}_{12},{X}_{21},{X}_{22}])\end{eqnarray}

durch Konjugation:

\begin{eqnarray}H,({X}_{ij})\mapsto H({X}_{ij}){H}^{-1}.\end{eqnarray}

Dabei bleiben die Determinante X₁₁X₂₂ − X₁₂X₂₁ und die Spur X₁₁ + X₂₂ invariant. Der Ring der invarianten Funktionen ℂ[X₁₁, X₁₂, X₂₁, X₂₂]^G = ℂ[X₁₁X₂₂ −X₁₂X₂₁, X₁₁ +X₂₂] wird von diesen Funktionen erzeugt. Die Abbildung π : X → ℂ²,

\begin{eqnarray}\pi \left(\begin{array}{ll}{X}_{11} & {X}_{12}\\ {X}_{21} & {X}_{22}\end{array}\right)=\left(\det \left(\begin{array}{ll}{X}_{11} & {X}_{22}\\ {X}_{21} & {X}_{22}\end{array}\right),\text{spur}\left(\begin{array}{ll}{X}_{11} & {X}_{12}\\ {X}_{21} & {X}_{22}\end{array}\right)\right)\end{eqnarray}

liefert einen guten Quotienten. Ist U ⊆ X die offene Teilmenge aller Matrizen mit verschiedenen Eigenwerten (die Menge der stabilen Punkte), dann ist die Einschränkung von π auf U,

\begin{eqnarray}U\to V=\{(a,b)\in {{\mathbb{C}}}^{2},{a}^{2}-4b\ne 0\}\end{eqnarray}

ein geometrischer Quotient.