Lexikon der Mathematik: Quotient bei unipotenter Gruppenwirkung
spezieller Quotient einer Gruppe.
Solche Quotienten existieren selbst bei konstanter Orbitdimension nicht immer. Es sei A eine K-Algebra (K ein Körper der Charakteristik 0) und G eine unipotente algebraische Gruppe, die über eine Darstellung G → AutK (A) auf A operiert. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:
- H1 (G, A) = 0.
- A ist eine treuflache AG–Algebra, und die kanonische Abbildung
\begin{eqnarray}A\,{\otimes }_{{A}^{G}}A\to A{\otimes }_{K}K[G]\end{eqnarray}
ist ein Isomorphismus. Es existieren x1, …, xr ∈ A, so daß G ) ein (trivialer) geometrischer Quotient. Es sei L die Lie–Algebra von G (aufgefaßt als Unteralgebra von DerK(A)). Es existieren x1, …, xr ∈ A, delta;1, …, δr ∈ L, so daß
\begin{eqnarray}A={A}^{G}[{x}_{1},\ldots,{x}_{r}].\end{eqnarray}
Insbesondere ist Spec(A) → Spec(A- δi (xi) = 1,
- δi (xj) = 0 if j >i,
- δk δi (xj) = 0 if k ≥ j.
Die zweite Bedingung impliziert, daß die Operation von G frei ist. Die vierte Bedingung ist am leichtesten zu prüfen und ist die Basis für Verallgemeinerungen auf Operationen von G, die nicht notwendig frei sind.
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