algebraische Begriffsbildung.

Sei G eine algebraische Gruppe (d. h., ein Gruppenschema über einem Körper), X eine algebraische Varietät über dem gleichen Grundkörper, und X × G → X eine algebraische Operation (G-Schema). Ein Morphismus \(X\mathop{\to }\limits^{\phi }Y\) auf eine algebraische Varietät Y heißt geometrischer Quotient von X bzgl. G, wenn gilt:

(i) ϕ ist surjektiv, und die Fasern von ϕ sind die Orbits von G.

(ii) Die Topologie von Y ist die Quotiententopologie, d. h., U ⊂ Y ist genau dann offen, wenn ϕ⁻¹ (U) ⊂ X offen ist.

(iii) Jede G-invariante Funktion f ∈ 𝒪_X(ϕ⁻¹U) (U ⊂ Y offen) hat die Form f = ϕ^∗ (g), g ∈ 𝒪_X (U).

Im allgemeinen ist die Existenz eines Quotienten nicht gewährleistet, deshalb werden verschiedene Abschwächungen dieses Begriffes betrachtet: \(X\mathop{\to }\limits^{\phi }Y\) heißt kategorialer Quotient, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

(i) ϕ ist konstant auf den Orbits.

(ii) ϕ ist universell mit Eigenschaft (i), d. h., ist ϕ′ : X → Y′ ein Morphismus, der konstant ist auf den Orbits, so gibt es eine eindeutig bestimmte Zerlegung

\begin{eqnarray}{\phi }^{\prime}:X\mathop{\to }\limits^{\phi }Y\mathop{\to }\limits^{h}{Y}^{\prime}.\end{eqnarray}

Im Falle linearer Gruppen G wird definiert: \(X\mathop{\to }\limits^{\phi }Y\) heißt guter Quotient, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

(i) ϕ ist ein affiner Morphismus, der surjektiv und konstant auf den Orbits ist.

(ii) Für abgeschlossene G-stabile Teilmengen Z ist ϕ(Z) abgeschlossen in Y, und sind Z₁, Z₂ derartige Mengen, so ist

\begin{eqnarray}\phi ({Z}_{1})\cap \phi ({Z}_{2})=\phi ({Z}_{1}\cap {Z}_{2}).\end{eqnarray}

(iii) Jede G-invariante Funktion f ∈ 𝒪_X(ϕ⁻¹U) (U ⊂ Y offen) hat die Form f = ϕ^∗ (g).

Bezüglich der Existenz gibt es u. a. folgende Resultate:

1. Es gibt eine G-stabile offene Untervervarität U ⊂ X so, daß ein geometrischer Quotient U → U/G existiert (Satz von Rosenlicht).
2. Wenn G eine reduktive lineare Gruppe ist, und jeder Punkt von X eine G-stabile offene affine Umgebung besitzt, so existiert ein guter Quotient ϕ : X → X//G = Y. Im affinen Fall X = Spec(A) ist X//G = Spec(A^G), wobei A^G der Ring der G-invarianten Funktionen ist, der wieder endlich erzeugt ist über dem Grundkörper. Jede Faser ϕ⁻¹ (y) enthält genau einen abgeschlossenen Orbit, und dies sind die Orbits minimaler Dimension.
3. Wenn G eine reduktive lineare Gruppe und V eine rationale Darstellung von G ist, so operiert G auf ℙ(V), und sind X ⊂ ℙ(V) eine G-stabile Untervarietät und X^s ⊂ X^ss ⊂ X die Menge der stabilen bzw. semistabilen Punkte, so existiert ein guter Quotient X^ss → X^ss //G (mit einer projektiven Einbettung

   \begin{eqnarray}{X}^{ss}//G=\text{Proj}(\Gamma \bullet {(X,{{\mathcal{O}}}_{X})}^{G})\end{eqnarray}

Über die lokale Struktur von X//G gibt der Scheibensatz Auskunft, der folgendes besagt: Wenn der Orbit von x ∈ X (X eine affine Varietät mit Wirkung einer reduktiven linearen Gruppe G) abgeschlossen ist, und H ⊂ G die Isotropiegruppe von x bezeichnet, so gibt es eine lokal abgeschlossene Untervarietät S ⊂ X durch x, die H-stabil ist, so daß

gilt, Ψ resp. ψ Etalumgebungen von x resp. ϕ(x) sind, und das Diagramm kartesisch ist.

Hierbei ist

\begin{eqnarray}S {\times }^{H}G=S\times G/H\end{eqnarray}

mit der Wirkung (s, g)h = (sh, h⁻¹g) von H, und Ψ ist die durch die Wirkung von G auf X induzierte Abbildung.