Quotientenvektorraum eines Banachraums mit seiner kanonischen Norm.

Ist X ein Banachraum und U ein abgeschlossener Unterraum, wird auf dem Quotientenvektorraum X/U mittels

\begin{eqnarray}||x+U||=\inf \{||x+u||:u\in U\}\end{eqnarray}

eine Norm definiert, die X/U zu einem Banachraum macht. Die kanonische Surjektion (Quotientenabbildung) q : x ↦ x + U von X auf X/U hat die Operatornorm ∥q∥ = 1 (Rieszsches Lemma), wenn U ≠ X ist. Jeder Banachraum ist isometrisch isomorph zu einem Quotientenraum eines L¹(μ)-Raums, und separable Räume sind isometrisch zu Quotienten von ℓ¹.