Kriterium für die (absolute) Konvergenz von gewissen Reihen \(\displaystyle {\sum }_{\nu=1}^{\infty }{a}_{\nu}\) reeller oder komplexer Zahlen a_ν:

Hat man

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}|{a}_{n+1}|\le q\cdot |{a}_{n}| & (n\ge N)\end{array}\end{eqnarray}

für ein q mit 0 ≤ q< 1 und ein N ∈ ℕ, so ist die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{\nu=1}^{\infty }{a}_{\nu}\)absolut konvergent (und damit konvergent).

Denn für n >N folgt

\begin{eqnarray}|{a}_{n}|\le {q}^{n-N}|{a}_{N}|,\end{eqnarray}

und so erhält man mit dem Majorantenkriterium und der bekannten Konvergenz der entsprechenden geometrischen Reihe unmittelbar die Behauptung.

Ist a_n ≠ 0 für alle n ∈ ℕ, so kann die Voraussetzung |a_{n + 1}| ≤ q · |a_n | auch in der Form

\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}\le q\end{eqnarray}

geschrieben werden, was die Bezeichnung des Kriteriums erklärt. Ergänzt wird das Kriterium gelegentlich noch durch die triviale Aussage:

Gilt für ein N ∈ ℕ

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}|{a}_{n+1}|\ge |{a}_{n}| & (n\ge N)\end{array}\end{eqnarray}

und a_N ≠ 0, so ist die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{\nu=1}^{\infty }{a}_{\nu}\)divergent.

Denn hier ist (a_ν) nicht einmal Nullfolge.

Es genügt für die Konvergenz nicht, daß \(\frac{|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}\lt 1\) für alle n ∈ ℕ ist, wie etwa die harmonische Reihe zeigt.

Gelegentlich wird das Kriterium (mit Ergänzung) unter Verwendung von Limes superior und Limes inferior wie folgt notiert:

Die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_{\nu}\)ist absolut konvergent, wenn

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\,\text{sup}}\limits_{n\to \infty }\displaystyle \frac{|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}\lt 1\end{eqnarray}

gilt. Aus

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\,\text{inf}}\limits_{n\to \infty }\displaystyle \frac{|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}\gt 1\end{eqnarray}

folgt die Divergenz.

(Dabei ist die Divergenzaussage offenbar schwächer als die in der o. a. Ergänzung.)

Die aufgeführten Überlegungen gelten entsprechend für Reihen mit Gliedern aus einem Banachraum.