Lexikon der Mathematik: Quotiententopologie
Standardtopologie auf einem Quotientenraum:
Ist (X, 𝒪) ein topologischer Raum und f : X → Y eine surjektive Abbildung, so ist die Quotiententopologie die feinste Topologie 𝒰 auf Y, welche f stetig macht; man findet
\begin{eqnarray}{\mathcal{U}}=\{U\subseteq Y|{f}^{-1}(U)\in {\mathcal{O}}\}.\end{eqnarray}
Insbesondere ist eine Teilmenge U von Y genau dann offen in der Quotiententopologie, wenn f−1(U) offen in X ist.
Ein Spezialfall dieser Konstruktion ist die Quotiententopologie auf Quotientenräumen: Dort wird X/∼ topologisiert, indem man für f : X → X/∼ die kanonische Projektion wählt, also diejenige Abbildung, die x auf die Äquivalenzklasse [x] abbildet.
Ist (X, 𝒪) ein topologischer Raum, f : X → Y surjektiv, und Y mit der dadurch definierten Quotiententopologie versehen, dann gilt: Ist X kompakt (zusammenhängend, wegzusammenhängend), dann auch Y. Dagegen übertragen sich Trennungsaxiome ohne zusätzliche Voraussetzungen i. allg. nicht.
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