die Eigenschaft eines Banachraums X, daß jedes X-wertige auf einer σ-Algebra definierte Vektormaß m beschränkter Variation, das bzgl. eines skalarwertigen Maßes μ absolutstetig ist, eine Bochnerintegrierbare (Bochner-Integral) Dichte besitzt:

\begin{eqnarray}m(A)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{A}fd\mu.\end{eqnarray}

Beispiele solcher Räume sind alle reflexiven Räume, alle Unterräume separabler Dualräume (wie z. B. ℓ¹ oder der Raum der nuklearen Operatoren N(ℓ²)), sowie Dualräume von Banachräumen mit einer äquivalenten Fréchetdifferenzierbaren Norm. Hingegen haben weder c₀ noch C[0, 1] noch L¹ [0, 1] die Radon-Nikodym-Eigenschaft.

Die Radon-Nikodym-Eigenschaft kann auf vielfältige Weise äquivalent charakterisiert werden, beispielsweise hat X genau dann die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn jeder stetige lineare Operator T : L¹ (Ω, Σ, μ) → X eine Darstellung

\begin{eqnarray}T\varphi =\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\Omega }f\varphi d\mu \end{eqnarray}

mit einer beschränkten Bochnerintegrierbaren Funktion f : Ω → X besitzt.

Ferner sind zur Radon-Nikodym-Eigenschaft äquivalent, daß jedes gleichgradig integrierbare X-wertige Martingal im Mittel und fast sicher konvergiert, oder daß jede abgeschlossene beschränkte konvexe Teilmenge C von X beulbar (engl. dentable) ist. Dabei heißt C beulbar, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein x₀ ∈ C mit

\begin{eqnarray}{x}_{0}\notin \overline{\text{conv}}\{x\in C:||x-{x}_{0}||\ge \varepsilon \}\end{eqnarray}

gibt; \(\overline{\text{conv}}\) steht für die abgeschlossene konvexe Hülle.

Der Dualraum X′ von X hat genau dann die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn jeder separable Unterraum von X einen separablen Dualraum besitzt (Satz von Stegall), wenn also X ein Asplund-Raum ist.

[1] Bourgin, R.: Geometric Aspects of Convex Sets with the Radon-Nikodym property. Springer Berlin/Heidelberg, 1983.
[2] Diestel, J.; Uhl, J.: Vector Measures. American Mathematical Society, 1977.