eine hyperbolische Raumform.

Es sei Hⁿ die einfach zusammenhängende Raumform konstanter negativer Krümmung k = −1. Wir stellen ℝⁿ⁺¹ als kartesisches Produkt ℝⁿ⁺¹ = ℝⁿ × ℝ dar und schreiben die Punkte von ℝⁿ⁺¹ als Paare \(({\mathfrak{x}},t)\) mit \({\mathfrak{x}}={({x}_{1},\ldots,{x}_{n})}^{\top }\in {{\mathbb{R}}}^{n}\) und t ∈ ℝ. Als Hyperfläche von ℝⁿ⁺¹ ist Hⁿ durch t > 0 und die Gleichung \({t}^{2}=1+\Vert{\mathfrak{x}}\Vert^{2}\) gegeben.

Es sei Dⁿ die offene Kugel \begin{eqnarray}{D}^{n}=\{{\mathfrak{n}}={({y}_{1},\ldots,{y}_{n})}^{\top }\in {{\mathbb{R}}}^{n};\,\Vert{\mathfrak{n}}\Vert^{2}={y}_{1}^{2}+\ldots +{y}_{n}^{2}\lt 1\}.\end{eqnarray} Wir definieren einen Diffeomorphismus \(v:{D}^{n}\to {H}^{n}\), indem wir einem Vektor 𝔫 ∈ Dⁿ den durch \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\mathfrak{r}}=\frac{2{\mathfrak{n}}}{1-\Vert{\mathfrak{n}}\Vert^{2}}, & t=\frac{1+\Vert{\mathfrak{n}}\Vert^{2}}{1-\Vert{\mathfrak{n}}\Vert^{2}}\end{array}\end{eqnarray} definierten Vektor \(v({\mathfrak{n}})=({\mathfrak{n}},t)\in {H}^{n}\) zuordnen. Die Umkehrabbildung von v ist durch \begin{eqnarray}{v}^{-1}({\mathfrak{r}},t)=\frac{{\mathfrak{r}}}{t+\sqrt{{t}^{2}-\Vert{\mathfrak{r}}\Vert^{2}}}\end{eqnarray} gegeben. Dann gilt die Gleichung \begin{eqnarray}\Vert d{\mathfrak{r}}\Vert^{2}-d{t}^{2}=\frac{4}{{(1-\Vert{\mathfrak{n}}\Vert^{2})}^{2}}\mathop{\sum ^{n}}\limits_{i=1}{(d{y}_{i})}^{2},\end{eqnarray} aus der man ersieht, daß Hⁿ zu der mit der Poincaré-Metrik \begin{eqnarray}{g}_{-1}=4\left(\mathop{\sum ^{n}}\limits_{i=1}{(d{y}_{i})}^{2}\right)/{\left(1-\Vert{\mathfrak{n}}\Vert^{2}\right)}^{2}\end{eqnarray} versehenen n-dimensionalen Kugel Dⁿ isometrisch ist. Das zeigt insbesondere, daß sich g₋₁ von derflachen Euklidischen Metrik \({g}_{0}={(d{y}_{1})}^{2}+\ldots +{(d{y}_{n})}^{2}\) nur um den positiven Faktor \(\lambda ({\mathfrak{y}})={(1-\Vert{\mathfrak{y}}\Vert^{2})}^{-2}\) unterscheidet. Somit sind Hⁿ und der Euklidische Raum \({H}_{0}^{n}\) konform äquivalent.

Hⁿ dient als Modell der n-dimensionalen nichteuklidischen Geometrie. Die Geodätischen von H_n werden in diesem Modell als Geraden angesehen. Jede derartige Gerade ergibt sich als Durchschnitt \({H}^{n}\mathop{\cap }\limits^{}{E}^{2}\) von Hⁿ mit einem zweidimensionalen affinen Unterraum \({E}^{2}\subset {{\mathbb{R}}}^{n+1}\).

Dann kann man mit Methoden der affinen Geometrie zeigen, daß durch je zwei verschiedene Punkte von H_n genau eine Gerade geht, und daß es durch einen Punkt außerhalb einer gegebenen Geraden g unendlich viele Geraden gibt, die g nicht schneiden.

Im Gegensatz zu den n-dimensionalen einfach zusammenhängenden elliptischen Raumformen, die, da sie Sphären sind, ohne Schwierigkeiten in den Euklidischen Raum \({{\mathbb{R}}}^{n+1}\) isometrisch eingebettet werden können, ist das Einbettungsproblem für die hyperbolische Raumformen Hⁿ sehr viel schwieriger.

Die durch die Definition von Hⁿ als Hyperfläche von \({{\mathbb{R}}}^{n+1}\) gegebene Abbildung \({H}^{n}\to {{\mathbb{R}}}^{n+1}\) ist isometrisch im Hinblick auf die indefinite Metrik \begin{eqnarray}d{s}^{2}=\mathop{\sum ^{n}}\limits_{i=1}{(d{x}_{i})}^{2}-d{t}^{2},\end{eqnarray} nicht aber hinsichtlich der Euklidischen Metrik von \({{\mathbb{R}}}^{n+1}\). Zwar existieren nach dem Einbettungssatz von Nash isometrische Einbettungen von Hⁿ in den Euklidischen Raum ℝ^N für \begin{eqnarray}N\ge (3{n}^{2}+11 n)(n+1)/2,\end{eqnarray} jedoch ist diese obere Grenze sehr großzügig bemessen, und explizite Beispiele werden nicht angegeben.

Nach unten existiert für die lokale Einbettbarkeit allerdings eine scharfe Grenze:

Ist \(f:U\to {{\mathbb{R}}}^{N}\)eine isometrische Einbettung einer offenen TeilmengeU ⊂ Hⁿ, so ist \(N\ge 2n-1\). Es existieren offenen Teilmengen U ⊂ Hⁿ und isometrische Einbettungen \(f:U\to {{\mathbb{R}}}^{2n-1}\).

Ein Beispiel einer derartigen Einbettung ist die Pseudosphäre. Man kann einen kleinen Bereich U ⊂ H² angeben, der zu einer aufgeschnittenen Pseudosphäre isometrisch ist. Die Unmöglichkeit, die ganze hyperbolische Ebene H² isometrisch in den ℝ³ einzubetten, ist ein klassisches Resultat von David Hilbert.