algebraische SchemataX₀ über ℝ, so daß \begin{eqnarray}X={X}_{0}\,{\otimes }_{{\mathbb{R}}}\,{\mathbb{C}}\end{eqnarray} eine algebraische Varietät ist.

Äquivalent dazu ist ein Paar (X, F), bestehend aus einer algebraischen Varietät X und einem Schemamorphismus F : X → X so, daß das Diagramm

(F_∞ der durch die komplexe Konjugation induzierte Morphismus) kommutativ ist mit F² = Id, und so, daß für jeden Punkt z ∈ X(ℂ) eine affine Umgebung U mit z, F(z) ∈ U existiert.

Ist \begin{eqnarray}X={X}_{0}\,{\otimes }_{{\mathbb{R}}}\,{\mathbb{C}}\,\,\,\text{und}\,\,\, z\in X({\mathbb{C}})={X}_{0}{({\mathbb{C}})}_{{\mathbb{R}}},\end{eqnarray} so ist \begin{eqnarray}F(z)=\bar{z}\,\,\, \text{und}\,\,\, {F}^{* }(f)(z)=\overline{f(\bar{z})}\end{eqnarray} (⁻ bedeutet hier komplexe Konjugation). Die Menge X₀(ℝ) der reellen Punkte ist die Fixpunktmenge von F (diese Menge kann leer sein). Solche Mengen heißen reelle algebraische Mengen.

Wenn X irreduzibel ist und X₀(ℝ) einen Punkt enthält, in dem X glatt ist, so ist X₀(ℝ) Zariskidieht in X(ℂ). X₀(ℝ) ist aber keineswegs dicht in dem zugrunde liegenden analytischen Raum X^an, sondern eine reell-analytische Untermannigfaltigkeit (wenn X glatt ist) der Dimension n = dim X, während die reelle Dimension von x^an gleich 2n ist.

Außerdem muß X₀(ℝ) ⊂ x^an nicht zusammenhängend sein, obwohl x^an zusammenhängend ist. Im Falle glatter projektiver algebraischer Kurven, die über ℝ definiert sind, ist die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von X₀(ℝ) durch g + 1 (g das Geschlecht der Kurve) beschränkt, und jede Komponente ist diffeomorph zu S¹ (Theorem von Harnack).