für den Raum der integrierbaren Funktionen \({{\mathfrak{J}}}_{n}\) und das zugehörige Integral \(\overline{{\iota }_{n}}\)(mehrdimensionales Integral) zunächst die Regeln:

a) \({{\mathfrak{J}}}_{n}\)ist Vektorraum, und \(\overline{{\iota }_{n}}\)ist linear.

b) \({{\mathfrak{J}}}_{n}\ni f\ge 0\Rightarrow \overline{{\iota }_{n}}(f)\ge 0\)

b’) \(\overline{{\iota }_{n}}\)ist isoton.

c) \({{\mathfrak{J}}}_{n}\ni f\Rightarrow |f|\in {{\mathfrak{J}}}_{n}\wedge |\overlline{{\iota }_{n}}(f)|\le \overline{{\iota }_{n}}(|f|)\)

d) \({{\mathfrak{J}}}_{n}\ni f,g\Rightarrow f\vee g,f\wedge g,\in {{\mathfrak{J}}}_{n}\)

Für das (eigentliche) Riemann-Integral hat man noch

e) \({{\mathfrak{J}}}_{n}\ni f,g\Rightarrow f.g\in {{\mathfrak{J}}}_{n}\)

Zu den genannten Regeln zählen auch weiterhin die Dreiecksungleichung für Integrale, die partielle Integration für mehrfache Integrale, allgemeiner die Sätze von Gauß und Stokes, der Transformationssatz und speziell für das Lebesgue-Integral etwa die Konvergenzsätze (Fatou, Levi und Lebesgue) und der Satz von Fubini.