Lexikon der Mathematik: Reinhardtsches Gebiet
wichtig für die Charakterisierung von Konvergenzgebieten von Potenzreihen in mehreren Variablen.
Die Punktmenge
- G ist ein Gebiet, und
- \(G=\varnothing \) oder G = 0.
Jeder vollständige Reinhardtsche Körper ist eigentlich. Ein Reinhardtscher Körper heißt logarithmisch-konvex, wenn
Jedes logarithmisch-konvexe vollständige Reinhardtsche Gebiet ist ein Konvergenzgebiet einer Potenzreihe. Umgekehrt ist jedes Konvergenzgebiet einer Potenzreihe ein logarithmisch-konvexes vollständiges Reinhardtsches Gebiet.
Da man für n ≥ 2 die Mengen G und \(\check{G}\) so wählen kann, daß \(\check{G}\ne G\) ist, zeigt der folgende Satz einen wesentlichen Unterschied zur Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen, wo es zu jedem Gebiet G eine auf G holomorphe Funktion gibt, die in kein echtes Obergebiet fortsetzbar ist.
Sei G ein eigentlicher Reinhardtscher Körper und f holomorph in G. Dann existiert genau eine holomorphe Funktion F in \(\check{G}\)mit F | G = f.
Ein wichtiges Beispiel für ein solches Mengenpaar \((\check{G},G)\) mit \(\check{G}\ne G\) ist die euklidische Hartogs-Figur (allgemeine Hartogs-Figur) im ℂn.
Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.