fundamentaler Satz in der Funktionentheorie mehrer Variabler.

Es sei X eine zusammenhängende kompakte Riemannsche Fläche mit Strukturgarbe \({\mathcal{O}}\). \( {\mathcal M} \) bezeichne die Garbe der Keime der meromorphen Funktionen auf X und Ω = Ω¹ die Garbe der Keime der holomorphen 1−Formen auf X (wegen dimX = 1 verschwinden alle Garben Ωⁱ, i > 1). \({\mathcal{D}}={ {\mathcal M} }^{* }/{{\mathcal{O}}}^{* }\) sei die Garbe der Keime der Divisoren. Die Divisorengruppe \(DivX:={\mathcal{D}}(X)\) ist kanonisch isomorph zu der von den Punkten x ∈ X erzeugten freien abelschen Gruppe, jeder Divisor D ist also von der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}D=\displaystyle \sum _{x\in X}{n}_{x}x, & {n}_{x}\in {\mathbb{Z}}, & {n}_{x}=0 & \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\text{fast all}\ x.\end{array}\end{eqnarray} Weiter sei R die Menge aller Abbildungen F = (f_x), die jedem Punkt x ∈ X einen Keim \({f}_{x}\in { {\mathcal M} }_{x}\) zuordnen, so daß fast alle f_x holomorph sind, offensichtlich ist R ein ℂ-Vektorraum. Für jeden Divisor D ist \begin{eqnarray}R(D):=\{F\in R,{f}_{x}\in {\mathcal{O}}{(D)}_{x}\}\end{eqnarray} ein Untervektorraum von R. Da Ω lokal-frei vom Rang 1 ist, schreibt sich jeder meromorphe Keim \({\omega }_{x}\in {\Omega }_{x}^{\infty }\), sobald eine Ortsuniformisierende \(t\in {{\mathcal{O}}}_{x}\) fixiert ist, eindeutig in der Form ω_x = h_xdt mit h_x ∈ \({h}_{x}\in { {\mathcal M} }_{x}\). Das Residuum Res_xω_x von ω_x in x ist invariant definiert als der Koeffizient von t⁻¹ in der Laurententwicklung von h_x bzgl. t; es ist \begin{eqnarray}Re{s}_{x}{\omega }_{x}=\frac{1}{2\pi i}\mathop{\int }\limits_{\partial H}hdt,\end{eqnarray} wenn H ein „kleiner Kreis“ um x und h ein in einer Umgebung von \(\bar{H}\) holomorpher Repräsentant von h_x ist. Dies entspricht der Definition des Residuums in der Funktionentheorie einer Variablen.

Für alle Keime ω_x ∈ Ω_x gilt Res_xω_x = 0.

Ist nun ω ∈ Ω^∞ (X) eine globale meromorphe Differentialform und F = (f_x) ∈ R, so gilt f_xω_x ∈ Ω_x für fast alle Punkte x ∈ X. Daher ist die Summe \begin{eqnarray}\langle \omega,F\rangle :=\sum _{x\in X}\mathrm{Re}{\text{s}}_{x}({f}_{x}{\omega }_{x})\in {\mathbb{C}}\end{eqnarray} endlich. Es gelten die beiden Sätze:

Die Abbildung\begin{eqnarray}\langle,\rangle :{\Omega }^{\infty }(X)\times R\to {\mathbb{C}},(\omega,f)\mapsto \langle \omega,f\rangle \end{eqnarray}

ist eine ℂ-Bilinearform, und es gilt:

1. ⟨hω, F⟩ = ⟨ω, hF⟩ für alle \(h\in {\mathcal M} (X)\).
2. ⟨ω, F⟩ = 0 für alle ω ∈ Ω (D) (X), F ∈ R (−D).

Der Residuensatz lautet nun:

Es gilt\begin{eqnarray}\langle \omega,h\rangle =0\end{eqnarray}für alle ω ∈ Ω^∞ (X), \(h\in {\mathcal M} (X)\).