Ableitung einer ℝ^m-wertigen Funktion von mehreren reellen Variablen, nämlich die Ableitung der durch Variation des Arguments entlang eines gegebenen Richtungsvektors gebildeten ℝ^m-wertigen Funktion einer reellen Variablen, im Fall m = 1 also die Steigung der Funktion in eine gegebene Richtung, anschaulich gesehen die Steigung der durch, Schneiden‘ des Graphen von f parallel zum Richtungsvektor gebildeten reellwer-tigen Funktion einer reellen Variablen.

Es seien D ⊂ ℝⁿ, f : D → ℝ^m, und a ∈ D. Für einen Richtungsvektor v, d. h. v ∈ ℝⁿ mit euklidischer Norm ||v|| = 1, sei \begin{eqnarray}{I}_{v}:=\{t\in {\mathbb{R}}\,|\,a+tv\in D\}\end{eqnarray} und \({f}_{v}:{I}_{v}\to {\mathbb{R}}\) definiert durch \begin{eqnarray}{f}_{v}(r):=f(a+tv)\end{eqnarray} für t ∈ I_v. Damit heißt f differenzierbar in Richtung v an der Stelle a genau dann, wenn 0 innerer Punkt von I_v und f_v an der Stelle 0 differenzierbar ist, also der Grenzwert \begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial v}(a):={f}^{{\prime}}_{v}(0)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{t\to 0}\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}\end{eqnarray} existiert, und \begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial v}(a)\end{eqnarray} heißt dann Richtungsableitung von f in Richtung v an der Stelle a.

\begin{eqnarray}{D}_{v}f(a)=\frac{\partial f(a)}{\partial v}=\frac{\partial f}{\partial v}(a).\end{eqnarray} Die Richtungsableitung von f in Richtung des j-ten Einheitsvektors e_j an der Stelle a ist gerade die partielle Ableitung von f nach der j-ten Variablenan der Stelle a, d. h. f ist genau dann in Richtung e_j differenzierbar an der Stelle a, wenn fpartiell differenzierbar nach x_j an der Stelle a ist, und esgilt dann \begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial {e}_{j}}(a)=\frac{\partial f}{\partial {x}_{j}}(a).\end{eqnarray} Es sei D_v die Menge der Stellen x ∈ D, an denen f differenzierbar in Richtung v ist. Dann heißt die Funktion \begin{eqnarray}{D}_{v}f=\frac{\partial f}{\partial v}:{D}_{v}\to {{\mathbb{R}}}^{m},\quad x\mapsto \frac{\partial f}{\partial v}(x)\end{eqnarray} Richtungsableitung von f in Richtung v.

Wie Beispiele zur Nicht-Differenzierbarkeit zeigen, folgt aus der Existenz aller Richtungsablei-tungen einer Funktion an einer Stelle nicht ihre(totale) Differenzierbarkeit an dieser Stelle, ja nichteinmal ihre Stetigkeit. Jedoch gilt umgekehrt: Ist a innerer Punkt von D und f differenzierbar ander Stelle a, so existiert die Richtungsableitung \(\frac{\partial f}{\partial v}(a)\) für jeden Richtungsvektor v = (v₁,…,v_n), und man hat \begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial v}(a)={f}{^{\prime} }(a)v=\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\frac{\partial f(a)}{\partial {x}_{j}}{v}_{j}.\end{eqnarray} Bei f′ (a) = 0 verschwinden also alle Richtungsableitungen von f an der Stelle a. Im Spezialfall einer differenzierbaren skalarwertigen Funktion (m = 1) gibt es im Fall f′ (a) ≠ 0 unter allen Richtungsableitungen von f an der Stelle a eine größte, nämlich die Ableitung in Richtung des Gradienten, die den Wert || grad f (a)|| hat, d. h. der Gradient zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs, und dieser hat den Wert || grad f (a)||. Entsprechend ist die Gegenrichtung des Gradienten die Richtung des stärksten Abstiegs mit dem Wert -|| grad f (a)||.