Lexikon der Mathematik: Riemann-Hurwitzsche Formel
Formel (1) im folgenden Satz:
Es seien m, n ∈ ℕ, \({G}_{1}\subset \hat{{\mathbb{C}}}\)ein m-fach zusammenhängendes Gebiet (d. h. \(\hat{{\mathbb{C}}}\)\G1besteht aus genau m Zusammenhangskomponenten), G2 ⊂ \(\hat{{\mathbb{C}}}\)ein n-fach zusammenhängendes Gebiet, und f eine eigentliche meromorphe Abbildung von G1auf G2vom Abbildungsgrad k ∈ ℕ.
Dann besitzt f nur endlich viele kritische Punkte in G1. Bezeichnet \(r\in {{\mathbb{N}}}_{0}\)die Anzahl dieser Punkte (dabei ist für die Nullstellen von f‘ die Nullstellenordnung zu berücksichtigen, und eine Polstelle von f der Polstellenordnung μ ≥ 2 ist (μ − 1)-fach zu zählen), so gilt
Unter den obigen Voraussetzungen erhält man auf elementare Weise
Spezialfälle: Ist f eine konforme Abbildung von G1 auf G2, so ist k = 1, r = 0 und daher m = n. Im Fall m = n = 2 folgt r = 0, d. h. eigentliche meromorphe Abbildungen zwischen zweifach zusammenhängenden Gebieten besitzen keine kritischen Punkte. Für m = n = 1 erhält man, daß jedes endliche Blaschke-Produkt
Die Riemann-Hurwitz-Formel gilt auch für m = n = 0, d. h. G1 = G2 = \(\hat{{\mathbb{C}}}\). In diesem Fall ist f eine rationale Funktion vom Grad d = k, und die Formel besagt, daß f genau 2(d − 1) kritische Punkte in \(\hat{{\mathbb{C}}}\) besitzt.
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