Riemann-Roch-Theorem, ein zentraler Satz der algebraischen Geometrie und verwandter Gebiete, der eine Aussage über die Dimensionen gewisser Räume meromorpher Funktionen und meromorpher Formen einer kompakten Riemannschen Fläche macht.

Von Riemann stammt die Ungleichung, daß es zu einem Divisor \begin{eqnarray}D=\sum _{j=1}^{r}{n}_{j}{p}_{j}\end{eqnarray} auf einer kompakten Riemannschen Fläche X mindestens \begin{eqnarray}\deg D+1-g=\sum _{j=1}^{r}{n}_{j}+1-g\end{eqnarray} (g das Geschlecht von X) linear unabhängige meromorphe Funktionen gibt, die in den P_j mit n_j > 0 einen höchstens n_j-fachen Pol haben, sonst holomorph sind, und in den P_j mit n_j< 0 mindestens von der Ordnung |n_j| verschwinden. Ein Divisor auf X ist hierbei eine Abbildung \(D:X\to {\mathbb{Z}}\) von X in den Ring \({\mathbb{Z}}\) der ganzen Zahlen, die nur in endlich vielen Punkten einen von Null verschiedenen Wert annimmt. Die Menge aller Divisoren ist somit eine abelsche Gruppe.

In heutiger Terminologie besagt obiges: \begin{eqnarray}{h}^{0}(X,{{\mathcal{O}}}_{X}(D))\ge \deg (D)+1-g.\end{eqnarray} Der Korrekturterm \begin{eqnarray}{h}^{0}(X,{{\mathcal{O}}}_{X}(D))-\deg (D)+1-g.\end{eqnarray} wurde durch Roch bestimmt als Dimension des Raumes der meromorphen 1-Formen auf X, die nur in den P_j mit n_j< 0 Pole haben, deren Polordnung durch |n_j| beschränkt ist, und die in den P_j mit n_j > 0 mindestens n_j-fache Nullstellen haben; in heutiger Terminologie \begin{eqnarray}{h}^{0}(X,{{\mathcal{O}}}_{X}(D))-{h}^{0}(X,{\Omega }_{X}^{1}(-D))=\deg (D)+1-g\end{eqnarray} bzw. unter Berücksichtigung von Serre-Dualität \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{\mathcal{X}}(X,{{\mathcal{O}}}_{X}(D)) & = & {h}^{0}(X,{{\mathcal{O}}}_{X}(D))-{h}^{1}(X,{{\mathcal{O}}}_{X}(D))\\ & = & \deg (D)+1-g.\end{array}\end{eqnarray}

Analoga von Riemanns Ungleichung für algebraische Flächen wurden Ende des 19. Jahrhunderts durch M. Noether erzielt, ebenso die Gleichung \begin{eqnarray}1-{h}^{0}(X,{\Omega }_{X}^{1})+{h}^{2}(X,{\Omega }_{X}^{2})=\frac{e(X)+{c}_{1}{(X)}^{2}}{12}\end{eqnarray} (e(X) die topologische Euler-Charakteristik der algebraischen Fläche X, c_i(X) die erste Chern-Klasse).

Für den weiteren Fortschritt war die Einführung der Garbentheorie (Kodaira, Spencer für komplexe Mannigfaltigkeiten, Serre für algebraische Varietäten) und die Entwicklung der Theorie charakteristischer Klassen von Vektorbündeln in der Topologie (Whitney, Stiefel, Pontrjagin, Chern) von Bedeutung. Dies gipfelte dann in der Riemann-Roch-Hirzebruch-Formel.

Ein neuer Gesichtspunkt zum Riemann-RochProblem geht auf Grothendieck zurück und hat weitreichende Konsequenzen in der Entwicklung verschiedener Gebiete der Mathematik gehabt (K- Theorie, lokale Indexsätze):

Die Funktion \( {\mathcal F} \chi {\mathcal{X}}(X, {\mathcal F} )\)(X eine komplette algebraische Varietät oder ein kompakter komplexer Raum) ist eine additive Funktion, d. h., für exakte Folgen \(0\to { {\mathcal F} }{^{\prime}}\to {\mathcal F} \to { {\mathcal F} }{^{\prime\prime}}\to 0\)\begin{eqnarray}{\chi}(X, {\mathcal F})={\mathcal{X}}(X,{\mathcal F}{^{\prime}})+{\chi}(X,{\mathcal F}{^{\prime\prime}}).\end{eqnarray}

Es gibt eine universelle additive Funktion mit Werten in einer abelschen Gruppe K₀(X)(Grothendieck-Gruppe). Dies ist die Restklassengruppe der freien abelschen Gruppe F(X), die von allen kohärenten Garben auf X erzeugt wird, modulo der Untergruppe R(X), die von allen Elementen \( {\mathcal F} -{ {\mathcal F} }{^{\prime}}-{ {\mathcal F} }{^{\prime\prime}}\in F(x)\) erzeugt wird, für die eine exakte Folge \(0\to { {\mathcal F} }{^{\prime} }\to {\mathcal F} \to { {\mathcal F} }{^{\prime\prime} }\to 0\) existiert. Ist \([ {\mathcal F} ]\) die Klasse von \( {\mathcal F} \) mod R(X), so ist \( {\mathcal F} \mapsto [ {\mathcal F} ]\) universelle additive Funktion im folgenden Sinne: Für jede abelsche Gruppe A und jede additive Funktion α der Kategorie der kohärenten Garben auf Xmit Werten in A gibt es genau eine Fortsetzung zu einem Gruppenhomomorphismus \(\alpha :{K}_{0}(X)\to A\text{}\text{}\,\text{mit}\,\alpha ([ {\mathcal F} ])=\alpha ( {\mathcal F} ).\)

Beschränkt man sich in der Definition der Grothendieck-Gruppe auf lokal freie kohärente Garben \( {\mathcal F} \), so erhält man analog eine abelsche Gruppe K⁰(X), die durch das Tensorprodukt sogar zu einem kommutativen Ring mit Eins-Element wird. Es gibt einen kanonischen Homomorphismus K⁰(X)→ K₀(X), der für glatte algebraische Varietäten ein Isomorphismus ist. (Zu jeder kohärenten Garbe gibt es eine exakte Folge \begin{eqnarray}0\to {\mathcal E}_{n}\to {\mathcal E}_{n-1}\to \cdots \to {\mathcal E} \to {\mathcal F} \to 0\end{eqnarray} mit lokal freien kohärenten Garben ℰ_j.Dann ist \begin{eqnarray}[ {\mathcal F} ]=[{\mathcal E}_{0}]-[{\mathcal E}_{1}]+\cdots +{(-1)}^{n}[{\mathcal E}_{n}].)\end{eqnarray}Für einen eigentlichen Morphismus \(X\mathop{\to }\limits^{\varphi }Y\) erhält man aufgrund des Endlichkeitssatzes und der exakten Kohomologie-Folge einen Gruppenhomomorphismus \begin{eqnarray}{\varphi }_{!}:{K}_{0}(X)\to {K}_{0}(Y)\end{eqnarray} durch \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{\varphi }_{!}([ {\mathcal F} ]) = [{\varphi }_{* }( {\mathcal F} )]-[{R}^{1}{\varphi }_{* }( {\mathcal F} )]+\cdots \\ +{(-1)}^{j}({R}^{j}{\varphi }_{* }( {\mathcal F} )] +\cdots, \end{array}\end{eqnarray} so daß K₀ ein kovarianter Funktor wird.

Die Zuordnung X ↦ K⁰(X) ist ein kontravarianter Funktor durch \begin{eqnarray}\varphi^* ([{\mathcal E}])=[\varphi^* {\mathcal E}]\in {K}^{0}(X)\end{eqnarray} für \([{\mathcal E}]\in {k}^{0}(Y).\)

Die Theorie der Chern-Klassen, genauer der Chern-Charakter, liefert einen Ringhomomorphismus ch :\({K}^{0}(X)\to A* (X)\otimes {\mathbb{Q}}\) (Schnitt-Theorie), und für glatte Varietäten ist \(X\mapsto A* (X)\) ebenfalls sowohl kontravariant als auch kovariant (für eigentliche Morphismen). Während für die Kontravarianz gilt: ch\((\varphi * (\xi ))=\varphi * ch(\xi )\,\text{f}\ddot{\mathrm u}{\text r}\,\xi \in {K}^{0}(Y)\)(als eine der Grundeigenschaften Chernscher Klassen), drückt die Grothendieck-Riemann-Roch-Formel die Kovarianzeigenschaft von ch aus: Für Morphismen glatter projektiver algebraischer Varietäten \(\varphi :X\to Y\) gilt in \(A* (Y)\otimes {\mathbb{Q}}\) die Formel \begin{eqnarray}ch({\varphi }_{!}(\xi ))Td(Y)={\varphi }_{* }(ch(\xi )Td(X)),\end{eqnarray}

wobei Td die Todd-Klasse bezeichnet.

Wenn Y ein Punkt ist, so erhält man als Spezialfall die Riemann-Roch-Hirzebruch-Formel.

Ein Vorteil dieses Gesichtspunktes ergibt sich für die Beweisstrategie, die auch in späteren Verallgemeinerungen und analogen Situationen häufig angewandt wird: Für den Beweis von (1) genügt der Beweis folgender Spezialfälle:

1. φ : X → Y ist eine abgeschlossene Einbettung.
2. X = Y × Z, und φ ist die Projektion auf den Faktor Y.

Für abgeschlossene Einbettungen i : X ⊂ Y läßt sich eine genauere Formel angeben, die die ChernKlassen von \({i}_{* }( {\mathcal F} )\) in A^*(Y) (und nicht nur in \(\text{A*}(Y)\otimes {\mathbb{Q}})\) ausdrückt als \begin{eqnarray}c({i}_{* }( {\mathcal F} ))=1+{i}_{* }(p({\mathcal{N}}, {\mathcal F} )),\end{eqnarray} wobei \({\mathcal{N}}\) das Normalenbündel von X in Y und P ein universelles Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten in den Chern-Klassen von \({\mathcal{N}}\) und \( {\mathcal F} \) ist.

Wenn \( {\mathcal F} \) Kodimension von X in Y bezeichnet, so ist P folgendes Polynom in den Unbestimmten s₁,…,s_n, t₁,…,t_r über \({\mathbb{N}}\).

Für 0 ≤ g ≤ n ist \begin{eqnarray}{Q}_{q}(s, t)=\mathop{\prod _{1\le i\le r}}\limits_{1\le j_1\lt \ldots \lt j_q\le n}(1+{t}_{i}-{s}_{j_1}-\cdots -{s}_{j_q})\end{eqnarray} ein Polynom, das bzgl. aller Permutationen von {t₁,…,t_r} und bzgl. aller Permutationen von {s₁,…,s_n} invariant ist. Also läßt sich Q_q eindeutig als Polynom \((c{^{\prime} }_{1},\ldots, {c}_{n}{^{\prime} };{c}_{1},\ldots, {c}_{r})\) in den elementarsymmetrischen Funktionen \((c{^{\prime} }_{1},\ldots, {c}_{n}{^{\prime} })\) von \(({s}_{1},\ldots, {s}_{n})\) und \(({c}_{1},\ldots, {c}_{r})\) von \(({t}_{1},\ldots, {t}_{r})\) ausdrücken (mit R(0, 0) = 1). Daher kann man \begin{eqnarray}R:=\frac{{R}_{0}{R}_{2}{R}_{4}\cdots }{{R}_{1}{R}_{3}{R}_{5}\cdots }=\frac{{Q}_{0}{Q}_{2}{Q}_{4}\cdots }{{Q}_{1}{Q}_{3}{Q}_{5}\cdots }\end{eqnarray} als formale Potenzreihe in \(({c}_{1}{^{\prime} },\cdots ;{c}_{n}{^{\prime} },{c}_{1},\ldots {c}_{r})\) schreiben. Außerdem ist \(R{|}_{s_n=0}=1,\) und wegen der Symmetrie daher \(R{|}_{c_n{^{\prime}}=0}=1,\) hat also die Form \begin{eqnarray}R=1+{c}{^{\prime}_{n} }P({c}{^{\prime}_{1} },\ldots {c}{^{\prime}_{n} };\quad{c}_{1},\ldots, {c}_{r}).\end{eqnarray}Dann ist \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}P({\mathcal{N}}, {\mathcal F} ) & = & P({c}_{1}({\mathcal{N}})),\ldots, {c}_{n}({\mathcal{N}});\\ & & {c}_{1}( {\mathcal F} ),\ldots, {c}_{r}( {\mathcal F} ))\end{array}\end{eqnarray}

Ein Beispiel: Für n = 2, r = 1 ist \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}P & = & \displaystyle\frac{-1}{1-({c}{^{\prime}_{1} }-2{c}_{2}-{c}_{1}^{2}+{c}_{1}{c}{^{\prime}_{1} }-{c}{^{\prime}_{2} })}\\ & = & -\,1+(2{c}_{1}-{c}{^{\prime}_{1} })+\cdots.\end{array}\end{eqnarray}Also ist z. B. für eine glatte Kurve X in einer glatten projektiven 3-dimensionalen algebraischen VarietätY und für ein Geradenbündel \({\mathcal{L}}\) auf X: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\qquad{c}_{1}\,({i}_{* }{\mathcal {L}}) & = & 0\\ \quad{c}_{2}\,({i}_{* }({\mathcal {L}})) & = & -[X]\,(\text {die durch}\, X\,\text{repr}\ddot{\mathrm a}{\text {sentierte Klasse}})\\ \displaystyle\int {c}_{3}({i}_{* }({\mathcal {L}})) & = & 2\deg ({\mathcal {L}})-\deg ({\mathcal{N}}).\end{array}\end{eqnarray}