Lexikon der Mathematik: Riemannsche ζ-Funktion
definiert durch die unendliche Reihe
An den geraden natürlichen Zahlen können die Werte der ζ-Funktion explizit berechnet werden. Es gilt die Eulersche Formel
Für k ∈ ℕ, k ≥ 2 kann die k-te Potenz der ζ-Funktion als Dirichlet-Reihe dargestellt werden, denn es gilt
Für die Reste der ζ-Reihe
Die ζ-Funktion besitzt eine holomorphe Fortsetzung in ℂ \{1} und hat an z = 1 eine Polstelle der Ordnung 1 mit Residuum Res (ζ, 1) = 1. Die Laurent-Entwicklung von ζ mit Entwicklungspunkt 1 lautet
Weiter gilt die Funktionalgleichung
Aus der Funktionalgleichung erhält man ζ(z) = 0 für z = −2, −4, −6, …. Diese Punkte nennt man die trivialen Nullstellen der ζ-Funktion. Weiter folgt, daß außerhalb des Vertikalstreifens
Die berühmte Riemannsche Vermutung lautet:
Ist ζ(z) = 0 und z ∈ S, so gilt Re \(z=\frac{1}{2}\).
Sie ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt worden.
Der Satz von Hardy besagt, daß auf der Geraden Re \(z=\frac{1}{2}\) unendlich viele Nullstellen der ζ-Funktion liegen. Für y > 0 bezeichne n(y) die Anzahl der Nullstellen z ∈ S von ζ mit 0 < Im z< y. Dann gilt die asymptotische Formel von Riemann-Mangoldt
Die Riemannsche ζ-Funktion spielt eine zentrale Rolle in der Zahlentheorie, insbesondere beim Beweis des Primzahlsatzes. Ein Zusammenhang zu Primzahlen liefert die Eulersche Produktentwicklung für die ζ-Funktion
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