Aussage über die Stetigkeit linearer Operatoren auf L^p-Räumen.

Sei 1 ≤ p_j, q_j ≤ ∞ und T ein linearer Operator, der zwischen den komplexen Räumen \({L}^{{p}_{0}}(\mu )\)und \({L}^{{q}_{0}}(\nu )\)sowie zwischen \({L}^{{p}_{1}}(\mu )\)und \({L}^{{q}_{1}}(\nu )\)stetig ist, etwa\begin{eqnarray}\Vert T:{L}^{{p}_{0}}(\mu )\to {L}^{{q}_{0}}(\nu )\Vert =:{M}_{0}\lt \infty, \\ \Vert T:{L}^{{p}_{1}}(\mu )\to {L}^{{q}_{1}}(\nu )\Vert =:{M}_{1}\lt \infty.\end{eqnarray}Ist 0 < ϑ< 1 und 1/p = (1 − ϑ)/p₀ + ϑ/p₁ sowie 1/q = (1 − ϑ)/q₀ + ϑ/q₁, so ist T ebenfalls ein stetiger Operator von L^p(μ) nach L^q (ν) mit\begin{eqnarray}\Vert T:{L}^{p}(\mu )\to {L}^{q}(\nu )\Vert \le {M}_{0}^{1-\vartheta }{M}_{1}^{\vartheta }.\end{eqnarray}

Im reellen Fall bleibt (1) im Fall p_j ≤ q_j gültig, ansonsten ist auf der rechten Seite von (1) der Faktor 2 einzufügen.

Ein Beispiel ist der Operator \( {\mathcal F} \) der Fourier-Transformation, der auf dem Schwartz-Raum \({\mathcal{S}}({{\mathbb{R}}}^{d})\) durch \begin{eqnarray}( {\mathcal F} \varphi )(\xi )=\frac{1}{{(2\pi )}^{d/2}}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{{\mathbb{R}}}^{d}}\varphi (x){e}^{-ix\xi }dx\end{eqnarray} erklärt ist. \( {\mathcal F} \) besitzt eine stetige Fortsetzung auf L₁(ℝ^d) bzw. L²(ℝ^d) mit \begin{eqnarray}||{\mathcal F}:{L}^{1}\to {L}^{\infty }||=\frac{1}{{(2\pi )}^{d/2}},\quad||{\mathcal F}:{L}^{2}\to {L}^{2}||=1.\end{eqnarray}Für 1 < p< 2 und 1/p + 1/q = 1 besitzt \( {\mathcal F} \) dann eine stetige Fortsetzung von L^p(ℝ^d) nach L^q(ℝ^d)mit \begin{eqnarray}||F:{L}^{p}\to {L}^{q}||\le \frac{1}{{(2\pi )}^{d/p-d/2}};\end{eqnarray} diese Aussage ist zur Hausdorff-Young-Ungleichung äquivalent und folgt hier aus (1) mit ϑ = 2 − 2/p.

[1] Bennett, C.; Sharpley, R.: Interpolation of Operators. Academic Press London/Orlando, 1988.