Hurwitz-Kriterium,Aussage über die Lage der Nullstellen eines Polynoms.

Sei \(n\in {\mathbb{N}}\)und \({a}_{0},\cdots, {a}_{n-1}\in {\mathbb{R}}\). Im folgendenwerdea_n : = 1 und a_l : = 0 für l >n gesetzt. Danngilt für das Polynom\begin{eqnarray}p(\lambda )={\lambda }^{n}+{a}_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +{a}_{1}\lambda +{a}_{0}:\end{eqnarray}

1. Besitzen alle Nullstellen von p negative Real-teile, so sind \({a}_{0},\cdots, {a}_{n-1}\gt 0\).
2. Gilt \({a}_{0},\cdots, {a}_{n-1}\gt 0\), so haben alle Nullstellen von p genau dann negative Realteile, falls folgende Determinante samt ihrer sämtlichen Hauptunterdeterminanten positiv ist:

Für n = 2 sind alle Nullstellen von p genau dann negativ, wenn a₁, a₂ > 0 gilt. Für n > 2 ist \({a}_{0},\cdots, {a}_{n-1}\gt 0\) nicht dafür hinreichend, daß alle Nullstellen von p negativ sind.

Die Bedeutung des Routh-Hurwitz-Kriteriums liegt darin, daß ohne explizite Berechnung der Nullstellen von p eine Aussage über ihre Vorzeichen gemacht werden kann, die z. B. bei der Untersuchungdes Stabilitätsverhaltens von Fixpunkten dynamischer Systeme herangezogen werden kann.