spezielle Bifurkation.

Es sei \((\mu,x)\to {{\Phi }_{\mu }}(x),\,J\times W\to E\) eine C^r-Abbildung mit r ≥ 2, wobei W eine offene Teilmenge des Banachraumes E sei, μ ∈ J, und J ∈ ℝ.

Sei weiterhin (0, 0) ∈ (J × W) Fixpunkt von Φ_μ(x), so daß Φ_μ(0) = 0 für alle \(\mu \,({\alpha }_{\mu }^{1}=0)\). Das Spektrum der Jacobi-Matrix D₀ Φ₀ sei in {z : |z| < 1} enthalten, mit Ausnahme des einfachen Eigenwerts \({\alpha }_{0}^{2}=1\). Sei schließlich \(\frac{d}{d\mu }{{\rm{\Phi }}}_{\mu }(0){|}_{\mu =0}\) nicht enthalten in dem Unterraum von E, der dem Teil des Spektrums von D₀Φ₀ in {z : |z| < 1} entspricht.

Unter diesen Bedingungen ist die Menge {(μ, x); Φ_μ(x) = x} in der Nähe von (0, 0) ∈ (J × W) eine eindimensionale C^r-Manigfaltigkeit tangential zu (0, u) bei (0, 0) (d. h. D₀Φ₀ ≠ 0 und \({D}_{0}^{2}{{\rm{\Phi }}}_{0}\ne 0\)), wobei u der Eigenvektor zum Eigenwert \({\alpha }_{0}^{2}=1\) von D₀Φ₀ ist. Somit kann J × W auf eine geeignete Umgebung von (0, 0) eingeschränkt werden.

Man unterscheidet zwei Hauptvarianten der Sattel-Knoten-Bifurkation, abhängig vom Vorzeichen der Koeffizienten von \({D}_{\text{x}}^{2}{{\rm{\Phi }}}_{\mu }\):

(1) Bei der direkten Sattel-Knoten-Bifurkation hat Φ_μ keinen Fixpunkt für μ< 0, einen Fixpunkt bei 0 für μ = 0, und zwei hyperbolische Fixpunkte für μ > 0 (einer von beiden ist attraktiv).

(2) Bei der inversen Sattel-Knoten-Bifurkation hat Φ_μ zwei hyperbolische Fixpunkte für μ< 0 (einer von beiden ist attraktiv), einen Fixpunkt bei 0 für μ = 0, und keinen Fixpunkt für μ > 0.

In beiden Fällen gibt es außer den Fixpunkten keine lokal wiederkehrenden Punkte. Die Normalform der Sattel-Knoten-Bifurkation ist durch die Differentialgleichung \(\dot{x}=\mu -{x}^{2}\) (Fixpunkte bei \({x}_{1,2}=\pm \sqrt{\mu }\)) gegeben. Sattel-Knoten-Bifurkationen existieren auch für Semiflüsse.