Verallgemeinerungen der Spurklasse (Spurklassenoperator) und der Klasse der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Sei T : H → K ein kompakter Operator zwischen Hilberträumen mit der Schmidt-Darstellung (kompakter Operator) \begin{eqnarray}Tx=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{s}_{n}\langle x,{e}_{n}\rangle {f}_{n}.\end{eqnarray}

Dann gehört T zur Schatten-von Neumann-Klasse c_p(H, K), wobei l ≤ p ≤ ∞, falls \begin{eqnarray}{\Vert T\Vert }_{{c}_{p}}:={\left(\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{s}_{n}^{p}\right)}^{1/p}\lt \infty.\end{eqnarray}

Dieser Ausdruck definiert eine Norm auf dem Vektorraum c_p(H, K), die c_p(H, K) zu einem (im Fall p > l reflexiven) Banachraum macht. Im Fall p = 1 erhält man den Raum der Spurklassenoperatoren, und im Fall p = 2 den Raum der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Die Schatten-von Neumann-Klassen haben viele Eigenschaften mit den Folgenräumen ℓ^p und den Funktionenräumen L^p(μ) gemein, weswegen sie auch „nichtkommutative L^p-Räume“ genannt werden. Z.B. ist für 1/p + 1/q = 1 der Dualraum von c_p(H, K) zu c_q(K, H) isometrisch isomorph; der Isomorphismus Φ : c_q(K, H) → (c_p(H, K))′ wird dabei durch das Spurfunktional vermittelt: (ΦS)(T) = tr(ST).

Für H = K bilden die Schatten-von Neumann-Klassen zweiseitige Ideale im Raum aller beschränkten Operatoren L(H).

Zur Eigenwertverteilung von Operatoren aus c_p(H) vgl. Weyl-Ungleichung.