bezeichnen bei Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen eine spezielle ökonomische Interpretation der Langrangemultiplikatoren.

Sei f eine auf der Menge \begin{eqnarray}M=\{x\in {{\mathbb{R}}}^{n}|{h}_{i}(x)=0,\,\,i\in I;{g}_{j}(x)\ge 0,j\in J\}\end{eqnarray} zu minimierende Funktion. Unter ökonomischen Gesichtspunkten kann man die Nebenbedingungen als Einschränkungen auffassen, die durch das eingesetzte Kapital festgelegt sind. Eine Investition könnte die Nebenbedingungen verändern, z. B. zu \begin{eqnarray}{h}_{i}(x)={a}_{i}\in {\mathbb{R}},\,\,{g}_{j}(x)\ge {b}_{j}\in {\mathbb{R}}.\end{eqnarray}

Für a_i = 0, b_j = 0 erhält man das ursprüngliche Problem zurück. Wesentlich ist dabei natürlich die Frage, inwieweit sich eine derartige Investition lohnt, d. h., ob man unter den neuen Rahmenbedingungen einen neuen Optimalwert für f erhält, der die Investitionen belohnt. Sei dazu \(\bar{x}\) eine nicht-degenerierte Minimalstelle für f|_M. Nach dem Satz über implizite Funktionen kann \(\bar{x}\) lokal um \((\bar{a},\,\bar{b})=(0,\,0)\) parametrisiert werden, so daß x(a, b) die jeweils zugehörige Extremalstelle liefert, wenn a = (a_i, i ∈ I), b = (b_j, j ∈ J) die neuen Nebenbedingungen festlegen. Die Lagrangemultiplikatoren \({\bar{\lambda }}_{i}\) und \({\bar{\mu }}_{j}\) für \((\bar{a},\,\bar{b})=(0,\,0)\) erfüllen dann gerade die Gleichungen \begin{eqnarray}{\bar{\lambda }}_{i}=\frac{\partial f}{\partial {a}_{i}}(x(0,0)),\,\,\,{\bar{\mu }}_{i}=\frac{\partial f}{\partial {b}_{j}}(x(0,0)).\end{eqnarray}

Damit geben sie an, wie sensibel sich die Gewinnfunktion f verhält, wenn man die Parameterwerte a und b lokal verändert (d. h., wenn man investiert). Insofern sind sie ein Maß dafür, ob sich Investitionen lohnen und werden deshalb auch als Schattenpreise bezeichnet.