folgende Erweiterungen des Satzes von Thue-Siegel-Roth:

Seien α₁,…,α_n ∈ ℝ algebraische Zahlen mit der Eigenschaft, daß die Menge {1, α₁, …, α_n} über ℚ linear unabhängig ist, und sei ϵ > 0 gegeben. Dann gilt:

(A) Es gibt höchstens endlich viele q ∈ ℕ mit\begin{eqnarray}\Vert {\alpha }_{1}q\Vert \cdot \ldots \cdot \Vert {\alpha }_{n}q\Vert \le \frac{1}{{q}^{1+\varepsilon }}.\end{eqnarray}

(B) Es gibt höchstens endlich viele n-Tupel (q₁, …, q_n) ∈ ℤⁿ mit \begin{eqnarray}\Vert {\alpha }_{1}{q}_{1}+\ldots +{\alpha }_{n}{q}_{n}\Vert \le \frac{1}{{|{q}_{1}\cdot \ldots \cdot {q}_{n}|}^{1+\varepsilon }}.\end{eqnarray}

Mit ║ · ║ ist hier die Norm einer algebraischen Zahl gemeint (Norm auf einem Körper).

Der Ausdruck „simultane Approximation“ ist durch folgende Konsequenzen aus den Schmidtschen Sätzen gerechtfertigt:

(A) Es gibt höchstens endlich viele (p₁, …, p_n, q) ∈ ℤⁿ × ℕ mit\begin{eqnarray}|{\alpha }_{j}-\frac{{p}_{j}}{q}|\lt {q}^{-1-\frac{1}{n}-\varepsilon }\,\,\,\,\,\,\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,j=1,\ldots,n.\end{eqnarray}

(B) Es gibt höchstens endlich viele (p, q₁, …, q_n) ∈ ℤ × ℤⁿmit\begin{eqnarray}|{\alpha }_{1}{q}_{1}+\ldots +{\alpha }_{n}{q}_{n}-p|\lt {(\mathop{\max }\limits_{1\le j\le n}\,|{q}_{j}|)}^{-n-\varepsilon }.\end{eqnarray}