die Topologie der punktweisen Konvergenz im Dualraum eines lokalkonvexen Raums, insbesondere eines normierten Raums.

Die Schwach-*-Topologie auf dem Dual X′ von X wird von der Halbnormfamilie \begin{eqnarray}{x}^{\prime}\mapsto |{x}^{\prime}(x)|\,\,\,\,\,\,\,\,\,(x\in X)\end{eqnarray} erzeugt; sie ist eine lokalkonvexe Hausdorffsche Topologie auf X′, die mit σ(X′, X) bezeichnet wird. Im Fall eines normierten Raums ist sie gröber als die schwache Topologie des Banachraums X′ und von dieser zu unterscheiden, wenn X nicht reflexiv ist. In der Theorie der lokalkonvexen Räume wird die σ(X′, X)-Topologie auch als schwache Topologie bezeichnet (schwach-dualer Raum).

Ein lineares Funktional auf X′ ist genau dann σ(X′, X)-stetig, wenn es von der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{x}^{\prime}\mapsto {x}^{\prime}(x)\end{array}\end{eqnarray} für ein x ∈ X ist. Die σ(X′, X)-Topologie ist die gröbste Topologie, die diese Funktionale stetig werden läßt, sie ist also initial bzgl. der Abbildungen der Form (1). Die Bedeutung der Schwach-*-Topologie liegt wesentlich in der Gültigkeit des Kompaktheitssatzes von Alaoglu-Bourbaki (Alaoglu-Bourbaki, Kompaktheitssatz von) begründet.