abgeschwächter Konvergenzbegriff in normierten oder lokalkonvexen Räumen.

Eine Folge (x_n) in einem lokalkonvexen Raum X, insbesondere einem normierten Raum, konvergiert schwach gegen x, falls \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\,{x}^{\prime}({x}_{n})={x}^{\prime}(x)\,\,\,\,\,\,\forall {x}^{\prime}\in {X}^{\prime}.\end{eqnarray}

Ist die Topologie von X Hausdorffsch (wie im normierten Fall), so ist der schwache Grenzwert eindeutig bestimmt. Konvergiert (x_n) bzgl. der Originaltopologie, so auch schwach. Die schwache Konvergenz ist genau die Konvergenz bzgl. der schwachen Topologieσ(X, X′).

Hingegen heißt die Folge (x_n) schwache Cauchy-Folge, falls für alle x′ ∈ X′ der Grenzwert lim_nx′(x_n) existiert. Ist etwa x_n(t) = tⁿ, so ist die Folge (x_n) in C[0, 1] eine schwache Cauchy-Folge, jedoch nicht schwach konvergent. Konvergiert jede schwache Cauchy-Folge in einem Banachraum X schwach, so heißt X schwach folgenvollständig; ein Beispiel hierfür ist jeder reflexive Raum oder der Raum L¹(μ).

Für die Verwendung des Begriffs der schwachen Konvergenz im Kontext Maßtheorie siehe Kon-vergenz, schwache, von Maßen, und Konvergenz, schwache, von meßbaren Funktionen, sowie schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen.