verallgemeinerte Lösung einer linearen partiellen Differentialgleichung im Sinne der Distributionentheorie. Im Gegensatz zur Lösung der Orginalgleichung genügt die schwache Lösung nur einer aus der Differentialgleichung gewonnenen notwendigen Bedingung, die allerdings für starke Lösungen auch hinreichend ist.

Sei Ω ein Gebiet im ℝⁿ, und sei der Differentialgleichungsoperator der Ordnung m (mit konstanten Koeffizienten) gegeben in der Form \begin{eqnarray}P(D)=\displaystyle \sum _{|m|\le p}{a}_{m}{D}^{m}\end{eqnarray} mit einem multivariaten Polynom P und der Ableitung \(D=(\frac{\partial }{\partial {x}_{1}},\ldots,\frac{\partial }{\partial {x}_{n}})\). Der zu P(D) adjungierte Operator ist definiert als P^*(D) := P(−D). Ist V(Ω) der Raum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen, die außerhalb von Ω gleich Null sind, so ist u eine schwache Lösung der Gleichung \begin{eqnarray}P(D)u=f\,\,\,\,(f\,\text{stetig}),\end{eqnarray} wenn u stetig ist und der Bedingung \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{\Omega }}}(\varphi \cdot f-u\cdot {P}^{* }(D)\varphi )\,dx=0\,\,\,\,\forall \varphi \in V({\rm{\Omega }})\end{eqnarray} genügt. Ist u ∈ C^m (Ω), so nennt man u starke (oder eigentliche) Lösung.

Schwache Lösungen wurden von E. Hopf im Zusammenhang mit der Navier-Stokes-Gleichung eingeführt.