für die stochastische Differentialgleichung \begin{eqnarray}d{X}_{t}=b(t,{X}_{t})dt+\sigma (t,{X}_{t})d{B}_{t}\end{eqnarray} mit dem (d × 1)-Vektor b(t, x) = (b_i(t, x)) und der (d × r)-Matrix σ(t, x) = (σ_ij(t, x)), wobei b_i : [0, ∞) × ℝ^d → ℝ und σ_ij : [0, ∞) × ℝ^d → ℝ für 1 ≤ i ≤ d und 1 ≤ j ≤ r Borel-meßbare Funktionen bezeichnen, jedes Tripel \begin{eqnarray}(({({X}_{t})}_{t\ge 0},{({B}_{t})}_{t\ge 0}),\,({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P),\,\,{({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\ge 0})\end{eqnarray} mit den folgenden Eigenschaften:

(i) Es ist \(({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\) ein Wahrscheinlichkeitsraum und \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\ge 0}\) eine Filtration in \({\mathfrak{A}}\), welche die üblichen Voraussetzungen erfüllt.

(ii) (X_t)_t≥0 ist ein stetiger an \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\ge 0}\) adaptierter Prozeß mit Werten in ℝ^d, und (B_t)_t≥0 eine stetige an \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\ge 0}\) adaptierte r-dimensionale Brownsche Bewegung.

(iii) Es gilt \begin{eqnarray}P\left(\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}|{b}_{i}(s,{X}_{s})|+{\sigma }_{ij}^{2}(s,{X}_{s})ds\lt \infty \right)=1\end{eqnarray} für alle 1 ≤ i ≤ d, 1 ≤ j ≤ r und 0 ≤ t< ∞.

(iv) Es gilt \begin{eqnarray}{X}_{t}={X}_{0}+\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}b(s,{X}_{s})ds+\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\sigma (s,{X}_{s})d{B}_{s}\end{eqnarray}P-fast sicher für alle t ≥ 0.

Das auf \({\mathfrak{B}}({{\mathbb{R}}}^{d})\) definierte Wahrscheinlichkeitsmaß \(\mu ={P}_{{X}_{0}}\), d. h. die Verteilung von X₀, heißt die Anfangsverteilung der schwachen Lösung.