Bezeichnung für eine Reihe von Resultaten, die unter gewissen Voraussetzungen an eine Folge (X_n)_n∈ℕ von auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\) definierten reellen Zufallsvariablen zeigen, daß die Folge (Y_n − E(Y_n))_n∈ℕ stochastisch gegen (die konstante Zufallsvariable) 0 konvergiert, wobei \begin{eqnarray}{Y}_{n}=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{X}_{i}\end{eqnarray} für jedes n ∈ ℕ das arithmetische Mittel bezeichnet. Man sagt dann, daß die Folge (X_n)_n∈ℕ dem schwachen Gesetz der großen Zahlen genügt.

Jede Folge (X_n)_n∈ℕ von unabhängigen identisch verteilten reellen Zufallsvariablen, deren Erwartungswerte E(X_n) = μ< ∞ existieren, genügt dem schwachen Gesetz der großen Zahlen. In diesem Falle konvergiert die Folge (Y_n)_n∈ℕ also stochastisch gegen μ. Eine bekannte Formulierung des schwachen Gesetzes der großen Zahlen beinhaltet der folgende Satz.

Erfüllt eine Folge (X_n)_n∈ℕvon paarweise unkor-relierten reellen Zufallsvariablen mit endlichen Varianzen die Bedingung\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\,\frac{1}{{n}^{2}}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}Var({X}_{i})=0,\end{eqnarray}so konvergiert die Folge (Y_n − E(Y_n))_n∈ℕstochastisch gegen 0.

Schwache Gesetze der großen Zahlen wurden in unterschiedlicher Allgemeinheit etwa von J. Bernoulli, chincin, Kolmogorow, Markow, Tschebyschew und Poisson angegeben, auf den auch der Name „Gesetz der großen Zahlen“ zurückgeht.

[1] Gnedenko, B. W.: Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitstheorie (10. Aufl.). Verlag Harri Deutsch Thun, 1997.