lautet:

Es sei f eine in\({\mathbb{E}}=\{z\in {\mathbb{C}}:|z|\lt 1\}\) holomorphe Funktion mit\(f({\mathbb{E}})\subset {\mathbb{E}}\)undf (0) = 0. Dann gilt\begin{eqnarray}|f(z)|\le |z|,\,\,\,\,z\in {\mathbb{E}}\end{eqnarray}und |f′(0)| ≤ 1.

Falls es einen Punkt\({z}_{0}\in {\mathbb{E}}\backslash \{0\}\)mit |f (z₀)| = |z₀| gibt, oder falls |f′(0)| = 1, so ist f eine Drehung um 0, d. h. es existiert ein t ∈ ℝ mit f(z) = e^itz, \(z\in {\mathbb{E}}\).

Bezeichnet n ∈ ℕ die Nullstellenordnung der Nullstelle 0 von f, so gilt genauer als im Satz \begin{eqnarray}|f(z)|\le {|z|}^{n},\,\,\,\,z\in {\mathbb{E}}\end{eqnarray} und |f⁽ⁿ⁾(0)| ≤ n!.

Falls es einen Punkt \({z}_{0}\in {\mathbb{E}}\backslash \{0\}\) mit |f(z₀)| = |z₀|ⁿ gibt oder falls |f⁽ⁿ⁾(0)| = n!, so existiert ein t ∈ ℝ mit f(z) = e^itzⁿ, \(z\in {\mathbb{E}}\).

Eine Verallgemeinerung des Schwarzschen Lemmas liefert das Lemma von Schwarz-Pick (Schwarz-Pick, Lemma von).