Lexikon der Mathematik: Schwarz-Pick, Lemma von
Pick, Lemma von, lautet:
Es sei f eine in\({\mathbb{E}}=\{z\in {\mathbb{C}}:|z|\lt 1\}\) holomorphe Funktion mit\(f({\mathbb{E}})\subset {\mathbb{E}}\). Weiter sei für w, \(z\in {\mathbb{E}}\)
Dann gelten
Falls es zwei Punkte\({w}_{0},\,\,{z}_{0}\in {\mathbb{E}}\)mitw0 ≠ z0und Δ(f(w0), f(z0)) = Δ(w0, z0) gibt, so ist f ein Automorphismus von \({\mathbb{E}}\) (Automorphismengruppe von \({\mathbb{E}}\)), und (1) ist für alle\(w,\,\,z\in {\mathbb{E}}\)eine Gleichung. Ist (2) für ein\(\,{z}_{0}\in {\mathbb{E}}\)eine Gleichung, so ist f ebenfalls ein Automorphismus von \({\mathbb{E}}\), und in (2) steht für alle\(z\in {\mathbb{E}}\)das Gleichheitszeichen.
Gilt zusätzlich f(0) = 0 und setzt man w = 0 in (1) bzw. z = 0 in (2), so erhält man das Lemma von Schwarz.
Das Lemma von Schwarz-Pick kann auch für in der oberen Halbebene H = {z ∈ ℂ : Im z > 0} holomorphe Funktionen f mit f(H) ⊂ H formuliert werden. Hierzu muß nur Δ(w, z) durch
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