Lexikon der Mathematik: Schwarzsche Ableitung
Schwarz-Ableitung, Schwarzsche Derivierte, der einer in einem GebietG ⊂ ℂ nicht-konstanten meromorphen Funktionf zugeordnete Differentialausdruck
Eine weitere Bezeichnung hierfür ist {f, z}.
Es ist Sf eine in G meromorphe Funktion. Ein Punkt z0 ∈ G ist eine Polstelle von Sf genau dann, wenn entweder z0 eine Nullstelle von f′ oder eine Polstelle von f der Ordnung m ≥ 2 ist. Alle Polstellen von Sf besitzen die Ordnung 2. Die Polstellen von f der Ordnung 1 sind hebbare Singularitäten von Sf. Insbesondere ist Sf eine in G holomorphe Funktion, falls f eine in G lokal schlichte Funktion ist.
Einige Beispiele für Schwarzsche Ableitungen:
(a) Für den Hauptzweig des Logarithmus (Logarithmus einer komplexen Zahl) gilt
(b) Für den Hauptzweig der Potenz gilt
(c) Für die Exponentialfunktion gilt
Grundlegende Eigenschaften der Schwarzschen Ableitung sind:
(1) Ist f eine in G nicht-konstante meromorphe Funktion, so gilt Sf(z) = 0 für alle z ∈ G genau dann, wenn f eine Möbius-Transformation ist.
(2) Sind f und g in G nicht-konstante meromorphe Funktionen, so gilt Sf(z) = Sg(z) für alle z ∈ G genau dann, wenn es eine Möbius-Transformation T gibt mit T ∘ f = g.
(3) Ist f eine in G und g eine in f(G) nichtkonstante meromorphe Funktion, so gilt
Schon Joseph Louis Lagrange entdeckte, daß
Die Schwarzsche Ableitung spielt eine wichtige Rolle beim Beweis der Christoffel-Schwarzschen Abbildungsformel. Von Interesse ist hierbei die Schwarzsche Differentialgleichung Sf = 2p, wobei p eine gegebene in G holomorphe Funktion ist. Es ist f eine Lösung dieser Differentialgleichung genau dann, wenn f von der Form \(f=\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}\) ist, wobei g1 und g2 linear unabhängige Lösungen der linearen Differentialgleichung g″ + pg = 0 sind.
Weitere Anwendungen findet Sf in der Theorie der schlichten Funktionen.
Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.