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Lexikon der Mathematik: Schwarzsche Ableitung

Schwarz-Ableitung, Schwarzsche Derivierte, der einer in einem GebietG ⊂ ℂ nicht-konstanten meromorphen Funktionf zugeordnete Differentialausdruck \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{S}_{f}(z) & := & \frac{d}{dz}\left(\frac{{f}^{\prime\prime}(z)}{{f}^{\prime}(z)}\right)-\frac{1}{2}{\left(\frac{{f}^{\prime\prime}(z)}{{f}^{\prime}(z)}\right)}^{2}\\ & = & \frac{{f}^{\prime\prime\prime}(z)}{{f}^{\prime}(z)}-\frac{3}{2}{\left(\frac{{f}^{}(z)}{{f}^{\prime}(z)}\right)}^{2}.\end{array}\end{eqnarray}

Eine weitere Bezeichnung hierfür ist {f, z}.

Es ist Sf eine in G meromorphe Funktion. Ein Punkt z0G ist eine Polstelle von Sf genau dann, wenn entweder z0 eine Nullstelle von f′ oder eine Polstelle von f der Ordnung m ≥ 2 ist. Alle Polstellen von Sf besitzen die Ordnung 2. Die Polstellen von f der Ordnung 1 sind hebbare Singularitäten von Sf. Insbesondere ist Sf eine in G holomorphe Funktion, falls f eine in G lokal schlichte Funktion ist.

Einige Beispiele für Schwarzsche Ableitungen:

(a) Für den Hauptzweig des Logarithmus (Logarithmus einer komplexen Zahl) gilt \begin{eqnarray}\{\mathrm{log}z,z\}=\frac{1}{2{z}^{2}}.\end{eqnarray}

(b) Für den Hauptzweig der Potenz gilt \begin{eqnarray}\{{z}^{\alpha },z\}=\frac{1-{\alpha }^{2}}{2{z}^{2}}.\end{eqnarray}

(c) Für die Exponentialfunktion gilt \begin{eqnarray}\{{e}^{z},z\}=-\frac{1}{2}.\end{eqnarray}

Grundlegende Eigenschaften der Schwarzschen Ableitung sind:

(1) Ist f eine in G nicht-konstante meromorphe Funktion, so gilt Sf(z) = 0 für alle zG genau dann, wenn f eine Möbius-Transformation ist.

(2) Sind f und g in G nicht-konstante meromorphe Funktionen, so gilt Sf(z) = Sg(z) für alle zG genau dann, wenn es eine Möbius-Transformation T gibt mit Tf = g.

(3) Ist f eine in G und g eine in f(G) nichtkonstante meromorphe Funktion, so gilt \begin{eqnarray}{S}_{g\circ f}(z)={S}_{g}(f(z)){({f}^{\prime}(z))}^{2}+{S}_{f}(z),\,\,\,\,\,z\in G.\end{eqnarray}

Schon Joseph Louis Lagrange entdeckte, daß \begin{eqnarray}\frac{{F}^{}}{{F}^{\prime}}-\frac{3}{2}{\left(\frac{{F}^{}}{{F}^{\prime}}\right)}^{2}=\frac{{f}^{}}{{f}^{\prime}}-\frac{3}{2}{\left(\frac{{f}^{}}{{f}^{\prime}}\right)}^{2}\end{eqnarray} gilt für \begin{eqnarray}F=\frac{af+b}{cf+d}\end{eqnarray} mit a, b, c, d ∈ ℝ, adbc = 0, was, wie im Jahr 1873 Hermann Amandus Schwarz erkannte, gerade heißt, daß die Schwarzsche Ableitung invariant gegenüber linear gebrochenen Transformationen ist.

Die Schwarzsche Ableitung spielt eine wichtige Rolle beim Beweis der Christoffel-Schwarzschen Abbildungsformel. Von Interesse ist hierbei die Schwarzsche Differentialgleichung Sf = 2p, wobei p eine gegebene in G holomorphe Funktion ist. Es ist f eine Lösung dieser Differentialgleichung genau dann, wenn f von der Form \(f=\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}\) ist, wobei g1 und g2 linear unabhängige Lösungen der linearen Differentialgleichung g″ + pg = 0 sind.

Weitere Anwendungen findet Sf in der Theorie der schlichten Funktionen.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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