Lexikon der Mathematik: Schwarzsches Spiegelungsprinzip
wichtiger Satz der Funktionentheorie, der wie folgt lautet:
Es sei G ⊂ ℂ einGebiet, das bezüglich der reellen Achse symmetrisch ist, d. h., es ist z ∈ G genau dann, wenn\(\bar{z}\in G\). Weiter seiG+ := {z ∈ G : Im z > 0}, G− := {z ∈ G : Im z< 0} und G0 := G ∩ ℝ. Schließlich seif : G+ ∪ G0 → ℂ eine Funktion derart, daß f in G+holomorph, Im fin G+ ∪ G0stetig ist und Im f(z) = 0 für alle z ∈ G0. Definiert manF : G → ℂ durch
Man kann also unter den gegebenen Voraussetzungen die in G+ ∪ G0 definierte Funktion f durch Spiegelung an der reellen Achse zu einer in G holomorphen Funktion F fortsetzen. Den Funktionswert F(z) für z ∈ G− erhält man, indem man z an der reellen Achse spiegelt, auf den Spiegelpunkt \(\bar{z}\) die Funktion f anwendet und schließlich \(f(\bar{z})\) wieder an der reellen Achse spiegelt.
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