Lexikon der Mathematik: Segment-Approximation
Problem der Bestimmung einer besten Approximationen durch Splines mit freien Knoten, die nicht notwendigerweise stetig sind.
Es bezeichne C[a, b] die Menge der stetigen Funktionen auf einem Intervall [a, b], Pm den Raum der Polynome vom Grad m, und PPm,k die Menge der Splines vom Grad m mit k freien Knoten, d. h.
Bei der Segment-Approximation geht es um die Bestimmung von besten Approximationen sf aus PPm,k. Wichtig ist in diesem Zusammenhang der Begriff einer ausgeglichenen Knotenmenge von f. Dies sind Knoten \(a={x}_{0}\le {x}_{1}\le \cdots \le {x}_{k}\le {x}_{k+1}=b\) mit der Eigenschaft
1986 wurde von G. Nürnberger, M. Sommer und H. Strauß der nachfolgend beschriebene Algorithmus zur Bestimmung einer besten Approximation aus PPm,k entwickelt. Er basiert auf dem folgenden Satz, dessen Inhalt in der Literatur Lawson-Prinzip genannt wird.
Es sei f ∈ C[a, b]. Dann gilt:
Im ersten Schritt des o. g. Algorithmus zur Segment-Approximation wählt man eine (Start-)Knotenmenge
Der Algorithmus erzeugt induktiv für vorgegebenes f ∈ C[a, b] eine ausgeglichene Knotenmenge von f, und die Folge \(10\frac{{\alpha}_{p}+{\beta}_{p}}{2},p\in {\mathbb{N}}\), konvergiert gegen die Minimalabweichung von f zu PPm,k.
In der Literatur wird vorgeschlagen, diesen Algorithmus mit einem für Splines mit festen Knoten entwickelten Remezalgorithmus zu kombinieren, um gut approximierende Splines mit freien Knoten zu bestimmen.
Mitte der 90er Jahre wurden von G. Meinardus, G. Nürnberger und G. Walz ähnliche Verfahren zur bivariate Segment-Approximation entwickelt.
[1] Nürnberger G.: Approximation by Spline Functions. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1989.
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