Differentialgleichung mit selbstadjungiertem Differentialausdruck.

Ein Differentialausdruck L(y) heißt selbstadjungiert, wenn L^*(y) = L(y) ist, anti-selbstadjungiert, wenn L^*(y) = −L(y) ist, mit dem adjungierten Differentialausdruck L^* adjungierte Differentialgleichung)

Ein Randwertproblem mit dem Differentialausdruck L heißt selbstadjungiert, wenn es mit seinem adjungierten Problem im folgenden Sinne übereinstimmt:

1. L ist selbstadjungiert.
2. Die Randbedingungen sind selbstadjungiert, d. h., für je zwei beliebige Vergleichsfunktionen u und v gilt \(\mathop{\mathop{\int}\limits^{b}}\limits_{a}(vL(u)-uL(v))dx=0\).

Ein Beispiel hierfür ist das Sturm-Liouvillesche Randwertproblem. Eigenwertprobleme sind selbstadjungiert, wenn sie, aufgefaßt als Randwertprobleme, selbstadjungiert sind. Das System von gewöhnlichen Differentialgleichungen y′= P(x)y heißt selbstadjungiert, falls P eine schiefsymmetrische Matrix ist.

[1] Kamke, E.: Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösungen I. B. G. Teubner Stuttgart, 1977.