beschäftigt sich mit Optimierungsproblemen, in denen unendlich viele Ungleichungsrestriktionen auftreten.

Ein typisches Beispiel ist das folgende Problem (SIP), definiert durch stetige Funktionen:

(SIP) minimiere \(f(x),x\in M\), wobei \(M:\{x\in {{\mathbb{R}}}^{n}|G(x,y)\ge 0,y\in Y\}\). Die Menge Y ist dabei eine nichtleere kompakte Teilmenge des ℝ^m und wird folgendermaßen definiert: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}Y:=\{y\in {{\mathbb{R}}}^{m}|{g}_{j}(y)\ge 0,j\in J\}, & |J|\lt \infty.\end{array}\end{eqnarray} Aufgaben beispielsweise vom Typ einer Tschebyschew-Approximation lassen sich in ein semiinfinites Optimierungsproblem umformulieren und gehören somit zu den Standardbeispielen dieser Klasse von Optimierungsproblemen.

Grundlegend ist der sogenannte Reduktionsansatz, mit dem man (SIP) lokal in ein Optimierungsproblem mit nur endlich vielen Ungleichungsrestriktionen überführen kann. Der Reduktionsansatz kann bei numerischen Verfahren (vom Newton-Typ) erfolgreich eingesetzt werden und beruht auf der folgenden einfachen Beobachtung:

Für \(\bar{x}\in M\) ist jedes \(\bar{y}\in {Y}_{0}(\bar{x})\) eine globale Minimalstelle für die Funktion \(G{(\bar{x},\bullet)}_{Y}\), wobei \begin{eqnarray}{Y}_{0}(\bar{x})=\{y\in Y|G((\bar{x},y)\}=0\end{eqnarray} die aktive Indexmenge bezeichnet. Die definierenden Funktionen seien aus der Klasse C². Falls alle Punkte aus \({Y}_{0}(\bar{x})\) nicht-entartete Minimalstellen von \(G(\bar{x},\bullet){|}_{Y}\) sind, so ist \({Y}_{0}(\bar{x})\) eine endliche Menge, etwa \({Y}_{0}(\bar{x})=\{{\bar{y}}_{1},\mathrm{\ldots},{\bar{y}}_{r}\}\).

Vermöge des Satzes über impliziten Funktionen gibt es dann lokal (implizite) C¹-Funktionen y₁(x),…,y_r(x), wobei jedes y_i(x) eine lokale Minimalstelle von \(G(x,\bullet){|}_{Y}\) ist. Somit wird die zulässige Menge M in einer Umgebung von \(\bar{x}\) durch die endlich vielen C²-Ungleichungsrestriktionen \(G(x,{y}_{i}(x))\ge 0,i=1, 2,\mathrm{\ldots},r\) beschrieben (lokale Reduktion).