Ergebnisse zum Vergleich zwischen projektiven Schemata von endlichem Typ über ℂ und ihren assoziierten komplex analytischen Räumen.

Ist X ein Schema von endlichem Typ über ℂ, dann ist der assoziierte komplex analytische Raum X_h folgendermaßen definiert: Man überdeckt X mit offenen affinen Teilmengen Y_i = Spec A_i, wobei jedes A_i eine Algebra von endlichem Typ über ℂ ist, also geschrieben werden kann als \begin{eqnarray}{A}_{t}\cong {\mathbb{C}}[{x}_{1},\ldots, {x}_{n}]/({f}_{1},\cdots, {f}_{q}).\end{eqnarray} Dabei seien f₁,…,f_q Polynome in x₁,…,x_n. Wir können sie als holomorphe Funktionen auf dem ℂⁿ betrachten, so daß ihre gemeinsame Nullstellenmenge ein komplex analytischer Unterraum (Y_i)_h ⊂ ℂⁿ ist. Das Schema X erhält man, indem man die offenen Mengen Y_i verklebt, man kann daher die gleichen Verklebungs-Daten verwenden, um die analytischen Räume (Y_i)_h zu einem analytischen Raum X_h zu verkleben. Diesen nennt man den assoziierten komplex analytischen Raum von X.

Da die Konstruktion funktoriell ist, erhält man einen Funktor h von der Kategorie der Schemata von endlichem Typ über ℂ in die Kategorie der komplex analytischen Räume. Bei der Betrachtung dieses Funktors ergeben sich auf natürliche Weise folgende Fragen:

1. Sei ein komplex analytischer Raum \({\mathfrak{X}}\) gegeben, existiert dann ein Schema X so, daß \({X}_{h}\cong {\mathfrak{X}}\)?
2. Wenn X und X′ zwei Schemata mit \({X}_{h}={{X}{^{\prime}}}_{h}\) sind, ist dann \(X\cong {X}{^{\prime}}\)?
3. Sind ein Schema X und eine kohärente analytische Garbe \({\mathfrak{F}}\) über X_h gegeben, existiert dann eine kohärente Garbe \( {\mathcal F} \) über X, so daß \({{\mathcal F}}_{h}\cong {\mathfrak{F}}\)?
4. Seien ein Schema X und zwei kohärente Garben \( {\mathcal E} \) und \( {\mathcal F} \) über X gegeben, so daß \({\mathcal E}_{h}\cong {{\mathcal F}}_{h}\) über X_h, gilt dann \({\mathcal E} \cong {\mathcal F} \)?
5. Seien ein Schema X und eine kohärente Garbe \( {\mathcal F} \) gegeben, sind dann die Abbildungen \begin{eqnarray}{\alpha}_{i}:{H}^{i}(X, {\mathcal F})\to {H}^{i}({X}_{h},{{\mathcal F}}_{h})\end{eqnarray} Isomorphismen?

Sei X ein projektives Schema über ℂ. Dann induziert der Funktor h eine Äquivalenz von Kategorien zwischen der Kategorie der kohärenten Garben über X und der Kategorie der kohärenten analytischen Garben über X_h. Außerdem sind für jede kohärente Garbe \({\mathcal{F}}\)über X die natürlichen Abbildungen\begin{eqnarray}{\alpha}_{i}:{H}^{i}(X, {\mathcal F})\to {H}^{i}({X}_{h},{{\mathcal F}}_{h})\end{eqnarray}für alle i Isomorphismen.

[1] Hartshorne, R.: Algebraic Geometry. Springer-Verlag New York, 1977.