algebraischer Begriff.

Ein abgeschlossenes Unterschema Z (resp. ein komplexer Unterraum) eines glatten algebraischen k-SchemasX (resp. komplexen Mannigfaltigkeit X) heißt subkanonisch, wenn die Einbettung regulär ist (Schnitt-Theorie), d. h., ein lokal vollständiger Durchschnitt, und die dualisierende Garbe ω_z aus dem Bild der Einschränkungsabbildung Pic(X) → Pic(Z).

Ist beispielsweise s ein regulärer Schnitt (reguläre Folge) eines Vektorbündels \({\mathcal{E}}\) vom Rang r und Z = Z(s) Nullstellenschema von s, so ist Z subkanonisch, das Normalenbündel ist \({{\mathcal{N}}}_{Z|X}\simeq {\mathcal{E}} |Z,\), also ist \begin{eqnarray}{\omega}_{Z}=({\omega}_{X}\otimes {\wedge}^{r}{\mathcal{E}})|Z.\end{eqnarray} Die Serre-Konstruktion gibt Bedingungen für ein Tripel (Z, \({\mathcal{L}}\), σ), Z subkanonisch von der Kodimension 2, \({\mathcal{L}}\) ein Geradenbündel auf X, und \(\sigma :{\omega}_{X}\otimes {\mathcal L} |Z\simeq {\omega}_{Z}\) ein Isomorphismus, dafür an, daß ein Vektorbündel \( {\mathcal E} \) mit einem regulären Schnitt s existiert mit Z(s) = Z und \({\wedge}^{2}{\mathcal E} \simeq {\mathcal L} \). Wenn ein solches Bündel existiert, erhält man eine exakte Folge \begin{eqnarray}0\to {{\mathcal{O}}}_{X}\mathop{\to}\limits^{s}{\mathcal E} \mathop{\to}\limits^{s\wedge}{I}_{Z}\otimes {\mathcal L} \to 0\end{eqnarray} mit \(s\wedge :\upsilon \mapsto s\wedge \upsilon \) da \({\wedge}^{2}{\mathcal E} \simeq {\mathcal L} \)(I_z bezeichnet die Idealgarbe von Z), was einem Element \begin{eqnarray}e\in {\text{Ext}}^{1}({I}_{z}\otimes {\mathcal L}, {{\mathcal{O}}}_{X})\end{eqnarray} entspricht.

Umgekehrt entspricht jedes e einer solchen exakten Folge, allerdings im allgemeinen mit einer kohärenten Garbe \( {\mathcal E} \), und es sind Bedingungen an e zu richten, um ein Vektorbündel \( {\mathcal E} \) zu erhalten. Dies ist eine lokale Frage, die also die kanonische Lokalisierungsabbildung \begin{eqnarray}{\text{Ext}}^{1}({I}_{z}\otimes {\mathcal L}, {{\mathcal{O}}}_{X})\mathop{\to}\limits^\ell{H}^{0}(X,{\mathcal E} x{t}^{1}({I}_{Z}\otimes {\mathcal L}, {{\mathcal{O}}}_{X}))\end{eqnarray} betrifft.

Nun ist nach der allgemeinen Theorie für dualisierende Garben \begin{eqnarray}\begin{array}{rl}{\mathcal{E}} x{t}^{1}({I}_{Z}\otimes {\mathcal L}, {{\mathcal{O}}}_{X}) & = {\mathcal H} om({\mathcal L} \otimes {\omega}_{X},{\mathcal{E}} x{t}^{1}({I}_{Z},{\omega}_{X}))\\ {\mathcal{E}} x{t}^{1}({I}_{Z},{\omega}_{X}) & \simeq {\mathcal{E}} x{t}^{2}({{\mathcal{O}}}_{Z},{\omega}_{X})\simeq {\omega}_{Z}.\end{array}\end{eqnarray} Daher ist ℓ eine Abbildung \begin{eqnarray}{\text{Ext}}^{1}({I}_{Z}\otimes {\mathcal L}, {{\mathcal{O}}}_{X})\mathop{\to}\limits^{\ell}Hom({\mathcal L} \otimes {{\mathcal{O}}}_{X}|Z,{\omega}_{Z}),\end{eqnarray} und die Bedingung lautet: ℓ(e) ist ein Isomorphismus.

Es gibt eine kanonische Abbildung \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}{H}^{0}(X, {\mathcal E} x{t}^{1}({I}_{Z}\otimes {\mathcal L}, {{\mathcal{O}}}_{X})) & \simeq & Hom({\omega}_{X}\otimes {\mathcal L} |Z,{\omega}_{Z}),\\ \downarrow \delta & & \downarrow \delta \\ {H}^{2}(X, {\mathcal H} om({I}_{Z}\otimes {\mathcal L}, {{\mathcal{O}}}_{X}) & \simeq & {H}^{2}(X,{{\mathcal L}}^{-1})\end{array}\end{eqnarray} (die sich entweder durch elementare Rechnung kozyklenweise beschreiben läß t, oder sich aus einer Spektralfolge ergibt) mit Ker(δ) = Im(ℓ). Die Bedingung für die Existenz von (\( {\mathcal E} \), s) ist also δ(σ) = 0.

Für dim X = 2 ergibt sich (durch Anwendung von Serre-Dualität) daraus die Cayley-Bacharach- Bedingung für (Z, \({\mathcal{L}}\)) als notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz von (\( {\mathcal E} \), s) : Jeder Schnitt von \({H}^{0}(X, {\mathcal L} \otimes {{\mathcal{O}}}_{X})\), der auf einem Unterschema Z′ ⊂ Z mit ℓ(Z′) = ℓ(Z) − 1 verschwindet, verschwindet auch auf Z. Hierbei ist \begin{eqnarray}\ell(Z)={h}^{0}({{\mathcal{O}}}_{Z})=\sum _{z\in Z}{\dim}_{k}({{\mathcal{O}}}_{Z,z}).\end{eqnarray}