Cartan-Serre, Theorem A von, eines der Haupttheoreme der Theorie der kohärenten analytischen Garben, das zusammen mit Theorem B neben den Cousin-Problemen und dem Poincarè-Problem Anwendung in der Theorie der Steinschen Algebren findet.

Für kompakte Quader lautet das Theorem A folgendermaßen:

Zu jeder kohärenten \({\mathcal{O}}\)-Garbe \({\mathcal{S}}\)über einem kompakten Quader \(Q\subset {{\mathbb{C}}}^{m}\)gibt es eine natürliche Zahl p und eine exakte \({\mathcal{S}}\)-Sequenz\begin{eqnarray}{{\mathcal{O}}}^{p}|Q\to S\to 0.\end{eqnarray}

Eine andere Formulierung ist:

Es gibt p Schnitte im Schnittmodul \({\mathcal{S}}\)(Q), deren Keime in jedem Punkt z ∈ Q den Halm \({{\mathcal{S}}}_{z}\)über \({{\mathcal{O}}}_{z}\)erzeugen.

Für diesen Fall impliziert Theorem A das Theorem B (Serre, Theorem B von).

Ein komplexer Raum ist Steinsch, wenn er eine Ausschöpfung durch Steinsche Kompakta besitzt. Spezielle Steinsche Ausschöpfungen sind die Quaderausschöpfungen; komplexe Räume, die Quaderausschöpfungen gestatten, nennt man holomorphvollständig. Beispielsweise besitzt jeder schwachholomorph-konvexe Raum, in dem alle kompakten analytischen Mengen endlich sind, Quaderausschöpfungen und ist somit Steinsch. Eine abgeschlossene Teilmenge P eines komplexen Raumes X heißt Steinsch (in X), wenn fürP die Aussage von Theorem B richtig ist, z. B. sind kompakte Quader im ℂ^m Steinsche Mengen. Für Steinsche Mengen lautet das Theorem A folgendermaßen:

Es sei P eine Steinsche Menge in X und \({\mathcal{S}}\)eine kohärente analytische Garbe über P. Dann erzeugt der Schnittmodul \({\mathcal{S}}\)(P) jeden Halm \({\mathcal{S}}\)_x, x ∈ P, d. h. das Bild von \({\mathcal{S}}\)(P) in \({\mathcal{S}}\)_xbzgl. der Einschränkung \({\mathcal{S}}\)(P) → \({\mathcal{S}}\)_x, s ↦ s_x, erzeugt den \({\mathcal{O}}\)_x-Modul \({\mathcal{S}}\)_x.

Schließlich erhält man das Fundamentaltheorem der Steintheorie:

Jeder holomorph-vollständige Raum (X, \({\mathcal{O}}\)) ist Steinsch; für jede kohärente analytische Garbe \({\mathcal{S}}\)über X gilt also: