Sampling-Theorem, gibt Auskunft darüber, unter welcher Bedingung eine Funktion f vollständig aus einer Anzahl diskreter Werte, den sogenannten Abtastwerten, rekonstruiert werden kann, und wie diese Rekonstruktion zu berechnen ist.

Ist f bandbeschränkt, d.h., verschwindet die Fouriertransformierte \(\hat{f}\) von f außerhalb eines beschränkten Intervalls, so läßt sich f vollständig rekonstruieren. Genauer besagt das Theorem von Shannon:

Für Funktionen f mit supp \((\hat{f})\subset [-\frac{\pi}{T},\frac{\pi}{T}]\)gilt\begin{eqnarray}f(t)=\mathop{\sum ^{\infty}}\limits_{k=-\infty}f(kT)\,\,\text{sinc}\,\,\left(\frac{\pi t}{T}-k\pi \right).\end{eqnarray}

Die Funktion wird also durch die Abtastwerte f(kT) bestimmt. Man nennt \(\frac{\pi}{T}\) die Nyquist-Frequenz zum Abtastintervall T. Der Wert \begin{eqnarray}\frac{1}{T}=\frac{\text{supp}\hat{f}}{2\pi}\end{eqnarray} ist die Anzahl der Abfragen pro Zeiteinheit und wird als Abtastrate bzw. Nyquist-Rate bezeichnet.

Obige Reihenentwicklung für f war in der Fourieranalysis schon vor Shannon unter dem Namen cardinal series bekannt. Das Sampling-Theorem wurde in den 30er Jahren bereits von Whittaker bewiesen und später (1949) von Shannon für Anwendungen in der Nachrichtentechnik wiederentdeckt.

[1] Shannon, C.E.: Communications in the presence of noise. Proc. of the IRE 37, 1949.
[2] Whittaker, J.: Interpolatory function theory. Cambridge Tracts in Math. and Math. Physics, 1935.