lautet: Jede elliptische Kurve über ℚ ist modular.

Diese Vermutung verbindet die Theorie der elliptischen Kurven mit der Theorie der Modulformen, insbesondere der Spitzenformen vom Gewicht 2. Der Ursprung dieser Vermutung ist wie folgt: Im Jahr 1955 stellte Taniyama auf einer Konferenz über Zahlentheorie in Japan eine Reihe von Problemen vor, von denen zwei die Frage nach der Modularität elliptischer Kurven betrafen. Shimura formulierte eine präzisere Vermutung 1964 bei mehreren Vorträgen. 1967 publizierte Weil eine Arbeit, die einen wichtigen Beitrag zur Untersuchung der Modularität elliptischer Kurven enthält; daher heißt die Vermutung bei manchen Autoren Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung, obwohl sich in Weils Arbeit keine Formulierung dieser Vermutung findet.

Basierend auf Arbeiten von Frey konnte Ribet 1990 zeigen, daß die Shimura-Taniyama-Vermutung die Fermatsche Vermutung impliziert. Wiles bewies 1995 einen Teil der Shimura-Taniyama-Vermutung, nämlich daß jede semistabile elliptische Kurve modular ist – und hatte damit bereits einen Beweis der Fermatschen Vermutung. 1999 kündigten Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond und Richard Taylor einen Beweis der vollen Shimura-Taniyama-Vermutung an.