Lexikon der Mathematik: Shimura-Varietäten
algebraische Varietäten, die über gewissen algebraischen Zahlkörpern definiert sind und vom analytischen Gesichtspunkt aus Komponenten der Form Xan = Γ \D bestehen.
Hierbei ist D ein beschränktes symmetrisches Gebiet in ℂn (d.h., zu jedem p ∈ D gibt es eine holomorphe Involution s : D → D mit p als isoliertem Fixpunkt. Solche Gebiete sind von der Form G(ℕ)0/K∞, wobei G eine reduktive algebraische Gruppe, definiert über ℚ, ist, G(ℕ)0 die Zusammenhangskomponente der 1 und K∞ eine maximale kompakte Untergruppe bezeichnet, und G(ℕ)0 durch holomorphe Diffeomorphismen auf D wirkt). Γ ist eine arithmetische Untergruppe von G(ℚ). Nach Baily und Borel hat Γ \D eine natürliche Struktur als quasiprojektive algebraische Varietät.
Eine Shimura-Varietät ist durch folgende Daten gegeben:
- Eine reduktive zusammenhängende algebraische Gruppe G, die über ℚ definiert ist.
- Einen über ℝ definierten Homomorphismus algebraischer Gruppen h : S → Gℝ, wobei S die Gruppe aller \(K\subset G({{\mathbb{A}}}_{f})\).
Hierbei ist \({{\mathbb{A}}}_{f}\) die (lokal kompakte) ℚ-Algebra der endlichen Adélé von ℚ, d.h.,
Dabei sollen folgende Bedingungen erfüllt sein:
G(ℝ) wirkt durch Konjugation auf h, und ist K∞ die Isotropiegruppe von h, so ist die Konjugationsklasse X von h der homogene Raum G(ℝ)/K∞. Die Bedingung (i) zieht nach sich, daß X eine natürliche komplexe Struktur besitzt. (Durch die Hodge-Filtration, die durch die Konjugierten von h auf einer treuen rationalen Darstellung V von G über ℝ induziert wird, erhält man eine Einbettung von X in eine Fahnenmannigfaltigkeit \({\mathbb{F}}(V\otimes {\mathbb{C}})\), siehe Hodge-Struktur).
Bedingung (ii) hängt mit Varietäten von Hodge- Strukturen zusammen und garantiert, daß für jede rationale Darstellung V die induzierten Hodge-Strukturen eine Variation von Hodge-Strukturen bilden.
Bedingung (iii) zieht nach sich, daß die Komponenten von X symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ sind, also nach deren Klassifikation beschränkte symmetrische Gebiete in ℂn.
Die zugehörige Shimura-Varietät ist SK(G, h) mit
Ein Beispiel: Es sei G = GL(2) und h die Einbettung \(K=GL(2)(\hat{{\mathbb{Z}}})\subset GL(2)({{\mathbb{A}}}_{f})\) mit
Weiterhin gibt es allgemeine Vermutungen über die Zetafunktion dieser Varietäten und ihren Zusammenhang mit L-Funktionen von automorphen Formen auf G, die in Fällen, wo sich Shimura-Varietäten als Modulräume interpretieren lassen, bekannt sind.
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