Formel (1) im folgenden Satz:

Sei S eine endliche Menge, A₁, A₂,…,A_m ⊆ S, und m_pdie Anzahl der Elemente von S, die in genau p der Mengen A_iliegen, 0 ≤ p ≤ m.

Dann gilt (mit \(\displaystyle {\bigcap}_{i\in B}{A}_{i}=B\)für B = Ø) \begin{eqnarray}{m}_{p}=\displaystyle \sum _{k=p}^{m}{(-1)}^{k-p}\left(\begin{array}{c}k\\ p\end{array}\right)\displaystyle \sum _{\mathop{A\subseteq {{\mathbb{N}}}_{m}}\limits_{|A|=k}}|\displaystyle \mathop{\bigcap}\limits_{i\in A}{A}_{i}|.\end{eqnarray}

Es stellt sich die Frage, ob es möglich ist, die Mächtigkeit m_p durch beliebige Bewertungen auf der Booleschen Algebra \( {\mathcal B} (S)\) von S zu ersetzen. Dies ist tatsächlich der Fall, wie der folgende Satz zeigt. Die in ihm enthaltenen Formeln sind als allgemeine Siebformel bekannt:

Sei S eine endliche Menge, A₁, A₂,…,A_m ⊆ S, und w eine Bewertung auf \( {\mathcal B} (S)\)mit w(Ø) = 0. Wir setzen M_p ≔ {b ∈ S : b gehört zu genau p der Mengen A_i}, m_p ≔ w(M_p), 0 ≤ p ≤ m. Dann gilt:

1. \(w(\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\bigcup}}{A}_{i})=\displaystyle \sum _{i=1}^{m}w({A}_{i})-\displaystyle \sum _{i\lt j}w({A}_{i}\cup {A}_{j})+\ldots +{(-1)}^{m}w(\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\bigcap}}{A}_{i}),\quad und\)
2. \({m}_{p}=\mathop{\displaystyle\sum ^{m}}\limits_{k=p}{(-1)}^{k-p}\left(\begin{array}{c}k\\ p\end{array}\right)\displaystyle\sum _{\mathop{A\subseteq {{\mathbb{N}}}_{m}}\limits_{|A|=k}\,}w(\displaystyle \mathop{\bigcap}\limits_{i\in A}{A}_{i}).\)