Lexikon der Mathematik: singuläre Funktion
stetige und isotone reellwertige Funktion einer reellen Variablen, deren Ableitung fast überall (im Lebesgue-Sinne) verschwindet, d. h. fast überall existiert und 0 ist.
Solche Funktionen haben Bedeutung bei der Frage, für welche Funktionen die Entsprechung zum Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung
Ein isotones f ist fast überall differenzierbar, die Ableitung ist Lebesgue-integrierbar, und man hat
Durch f(0) := 0 und
Für x ∈ C existiert eine Darstellung
Eine rechtsseitig stetige Funktion von beschränkter Variation ist genau dann singulär, wenn für das von ihr erzeugte signierte Maß μ gilt, daß ein N ∈ B(ℝ) so existiert, daß μ(N) = 0 und das Lebesgue-Maß von ℝ\N gleich 0 ist. Sie ist genau dann singulär stetig, falls sie singulär ist und falls in B(ℝ) bzgl. μ keine atomare Mengen liegen.
Für das Lebesgue-Integral gilt eine Entsprechung des Hauptsatzes, wenn man absolut stetige Funktionen anstelle stetiger Funktionen betrachtet.
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