die Zerlegung einer Matrix A ∈ ℝ^m×n in das Produkt A = U∑V^T, wobei U ∈ ℝ^m×m und V ∈ ℝ^n×m orthogonale Matrizen sind, und

die aus den von Null verschiedenen singulären Wertenσ₁,…,σ_r von A gebildete Matrix. r ist der Rang von A.

Weiter gelten mit der Bezeichnung U = [u₁, u₂,…,u_m] und V = [v₁, v₂,…,v_n] folgende Beziehungen: \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}\ker (A) & = & \text {Span}\{{v}_{r+1},\mathrm{\ldots},{v}_{n}\},\\\text {im}(A) & = & \text {Span}\{{u}_{1},\mathrm{\ldots},{u}_{r}\},\\ A & = & \displaystyle \sum _{i-i}^{r}{\sigma}_{i}{u}_{i}{v}_{i}^{T},\\ ||A|{|}_{2} & = & {\sigma}_{1},\\ ||A|{|}_{F}^{2} & = & {\sigma}_{1}^{2}+{\sigma}_{2}^{2}+\mathrm{\ldots}+{\sigma}_{p}^{2},p=\min \{n,m\}.\end{array}\end{eqnarray} Die Spalten von U geben m orthonormale Eigenvektoren der symmetrischen (m × m)-Matrix AA^T an, die Spalten von V n orthonormale Eigenvektoren der symmetrischen (n × n) -Matrix A^TA. Die Singulärwertzerlegung kann zur Rangbestimmung einer Matrix und zur Lösung eines überbestimmten linearen Gleichungssystems mittels der Methode der kleinsten Quadrate eingesetzt werden.

Ein gebräuchlicher Algorithmus zur Berechnung der Singulärwertzerlegung besteht aus zwei Schritten. (Zur Vereinfachung sei m ≥ n angenommen, andernfalls betrachte man A^T statt A). Im ersten Schritt wird die Matrix A durch Transformation mit Householder-Matrizen (oder Givens- Matrizen) in eine Bidiagonalgestalt überführt, d. h. in eine Matrix B, bei welcher lediglich die Dia-gonalelememte b_ii und die oberen Nebendiago-nalelemente b_i,i+1 ungleich 0 sind. Dazu führt man abwechselnd Spalten- und Zeileneliminationen mit Householder-Matrizen (oder Givens- Rotationen) durch: Zunächst bestimmt man eine (m × m)-Householder-Matrix P₁, welche die Elemente der ersten Spalte von A unterhalb des Matrixelements a₁₁ annulliert: \begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}{P}_{1}A & = & {P}_{1} & \left(\begin{array}{cccc}x & x & x & x\\ x & x & x & x\\ x & x & x & x\\ x & x & x & x\\ x & x & x & x\end{array}\right)\\ & = & {A}^{(1)} & =\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11} & x & x & x\\ 0 & x & x & x\\ 0 & x & x & x\\ 0 & x & x & x\\ 0 & x & x & x\end{array}\right).\end{array}\end{eqnarray} Anschließend bestimmt man eine (n × n)-Householder-Matrix Q₁ so, daß die Elemente auf den Positionen (1, 3), (1, 4),…,(1, n) der ersten Zeile von A⁽²⁾ = A⁽¹⁾Q₁ verschwinden: \begin{eqnarray}{A}^{(2)}=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11} & {b}_{12} & 0 & 0\\ 0 & x & x & x\\ 0 & x & x & x\\ 0 & x & x & x\\ 0 & x & x & x\end{array}\right).\end{eqnarray} Allgemein erhält man im ersten Schritt eine Matrix A(²) der Form

mit einer (m − 1) × (n − 1)-Matrix Ã. Man behandelt nun die Matrix A auf die gleiche Weise wie à und erhält so nach n Reduktionsschritten eine (m × n)-Bidiagonalmatrix B\begin{eqnarray}B=\left(\begin{array}{c}\tilde{B}\\ 0\end{array}\right),\quad \tilde{B}=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11} & {b}_{12} & & \\ & {b}_{22} & \ddots & \\ & & \ddots & \mathop{{b}_{n-1,n}}\limits_{bnn}\end{array}\right),\end{eqnarray} wobei B = P_nP_n-1 · · ·P₁AQ₁Q₂ · · · Q_n-2. Da nur Orthogonaltransformationen verwendet wurden, besitzen B und A dieselben singulären Werte. Im zweiten Schritt wird nun die Singulärwertzerlegung von B = U∑V^T berechnet. Dann ist \begin{eqnarray}A={p}^{T}U\sum {V}^{T}{Q}^{T}\end{eqnarray} mit P = P_nP_n-1 · · · P und Q = Q₁Q₂ · · · Q_n-2 eine Singulärwertzerlegung von A. Die Singulärwertzerlegung von B kann durch Anwendung des QR-Algorithmus auf die Matrix B^TB bestimmt werden. Die explizite Berechnung von B^TB kann dabei vermieden werden, sodaß man in der Praxis iterativ mittels Orthogonaltransformationen eine Folge von Bidiagonalmatrizen berechnet, welche gegen eine Diagonalmatrix konvergieren.