Schätzung der Spektraldichte eines (im weiteren Sinne) stationären stochastischen Prozesses.

Sei (X(t))_t∈T⊆ℤ ein reellwertiger diskreter im weiteren Sinne stationärer Prozeß mit dem (meßbaren) Zustandsraum \([E, {\mathcal B} ],E\subseteq {\mathbb{R}}\), und \begin{eqnarray}{\sigma}_{X}(h)=:E(X(t)-EX(t))(X(t+h)-EX(t+h))\end{eqnarray} die Autokovarianzfunktion von (X(t))_t∈T. Dann ist die Spektraldichte gegeben durch \begin{eqnarray}{f}_{X}(\lambda)=\frac{1}{2\pi}\left\{\sigma (0)+2\mathop{\sum ^{\infty}}\limits_{h=1}\sigma (h)\cos (h\lambda)\right\},-\pi \le \lambda \le \pi.\end{eqnarray} Eine naheliegende Schätzung der Spektraldichte erhält man dadurch, daß man die Kovarianzen σ(h) durch Schätzungen, z. B. der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{c}_{h}:=\frac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{t=1}^{N-h}(X(t)-\bar{X})(X(t+h)-\bar{X}),\\ h=0,1,2,\ldots \end{array}\end{eqnarray} mit \begin{eqnarray}\bar{X}=\frac{1}{N}\mathop{\sum ^{N}}\limits_{t=1}X(t)\end{eqnarray} ersetzt. Die so entstehende Spektraldichteschätzung \begin{eqnarray}{I}_{X}(\lambda)=\frac{1}{2\pi}\left\{{c}_{0}+2\mathop{\sum ^{N-1}}\limits_{h=1}{c}_{h}\cos (h\lambda)\right\}\end{eqnarray} wird auch als Periodogramm bezeichnet. Das Periodogramm hat allerdings (wie auch c_h) schlechte statistische Eigenschaften (Inkonsistenz). Man bricht deshalb die Summe schon bei einer Zahl M< N− 1 (truncation point) ab, und führt außerdem Bewichtungen w_h (lag windows) ein. Man kommt so zu folgender Schätzung: \begin{eqnarray}{\hat{f}}_{X}(\lambda)=\frac{1}{2\pi}\left\{{c}_{0}{w}_{0}+2\mathop{\sum ^{M}}\limits_{h=1}{c}_{h}{w}_{h}\cos (h\lambda)\right\}.\end{eqnarray} Für die lag windows gibt es verschiedene Vorschläge:

1. (Bartlett): \({w}_{h}=1-\frac{h}{M}\) für \(0\le h\le M\).
2. (Tukey): w_h = 0, 5(1 + cos(πh/M) für 0 ≤ h ≤ M.
3. (Parzen): \begin{eqnarray}{w}_{h}=\left\{\begin{array}{ll}1-(6{h}^{2}/{M}^{2})(1-h/M), & 0\le h\le \frac{M}{2},\\ 2{(1-h/M)}^{3} & \frac{M}{2}\lt h\le M.\end{array}\right.\end{eqnarray}

Die Definition des Periodogramms läßt sich auf Prozesse mit komplexem Zustandsraum E ⊆ ℂ und auf stetige Prozesse verallgemeinern. Man kann zeigen, daß (2) identisch zur folgenden Darstellung ist: \begin{eqnarray}{I}_{X}(\lambda)=\frac{1}{2\pi N}{\left|\mathop{\sum ^{N}}\limits_{t=1}X(t){e}^{-i\lambda t}\right|}^{2},-\pi \le \lambda \le \pi.\end{eqnarray} Diese Funktion wird allgemein auch für diskrete Prozesse mit komplexem Zustandsraum (T ⊆ ℤ, E ⊆ ℂ) als Periodogramm bezeichnet und verwendet.

Ist der Prozeß stetig (T ⊆ ℤ, E ⊆ ℂ), so wird die (4) verallgemeinernde Funktion \begin{eqnarray}{I}_{X}(\lambda)=\frac{1}{2\pi T}{|\mathop{\mathop{\int}\limits^{T}}\limits_{t=0}X(t){e}^{-i\lambda t}|}^{2},-\infty \le \lambda \le \infty \end{eqnarray} sein Periodogramm genannt.