zentrale Aussage der Operatortheorie.

Sei T ein beschränkter oder unbeschränkter selbstadjungierter Operator in einem Hilbertraum H. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes projektionswertiges Maß E mit Träger supp(E) = σ(T) (σ das Spektrum von T) so, daß\begin{eqnarray}\langle Tx,y\rangle =\mathop{\int}\limits_{\sigma (T)}\lambda d\langle {E}_{\lambda},x,y\rangle \end{eqnarray}für alle x ∈ D(T), y ∈ H, wobei die Integration bzgl. des Maßes μ_{x, y}(A) = ⟨E(A)x,y⟩ gemeint ist.

Ist T beschränkt, konvergiert das Integral in (1) sogar bzgl. der Operatornorm; man schreibt dann \begin{eqnarray}T=\mathop{\int}\limits_{\sigma (T)}\lambda\,d{E}_{\lambda}.\end{eqnarray}

Eine Zahl λ ∈ ℝ ist genau dann ein Eigenwert von T, wenn E({λ}) ≠ 0 ist. Da das Spektrum eines kompakten Operators (außer der Null) nur aus Eigenwerten besteht, etwa σ(T) = {0, λ₁, λ₂, …}, nimmt (2) in diesem Fall die Form \begin{eqnarray}T=\mathop{\sum ^{\infty}}\limits_{n=1}{\lambda}_{n}E(\{{\lambda}_{n}\})(3)\end{eqnarray} an; E({λ_n}) ist die Orthogonalprojektion auf den zu λ_n gehörigen Eigenraum.

Formel (3) impliziert, daß H eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von T besitzt; (3) lautet in dieser Version \begin{eqnarray}Tx=\mathop{\sum ^{\infty}}\limits_{k=1}{\mu}_{k}\langle x,{e}_{k}\rangle {e}_{k},\end{eqnarray} wobei die Folge (μ_k) die in ihrer Vielfachheit gezählten Eigenwerte wiedergibt, d.h., jeder Eigenwert taucht in ihr so häufig auf, wie die Dimension des zugehörigen Eigenraums angibt.

Die Formeln (1)–(3) zeigen, wie ein selbstadjungierter Operator aus den einfachsten selbstadjungierten Operatoren, nämlich den Orthogonalprojektionen, zusammengesetzt wird; daher spricht man auch von der Spektralzerlegung von T.

Die Formeln (1)–(3) können äquivalent mittels der Spektralschar\begin{eqnarray}F(\lambda)=E((-\infty, \lambda ]\mathop{\cap}\limits^{}\sigma (T),\,\lambda \in {\mathbb{R}},\end{eqnarray} ausgedrückt werden, beispielsweise \begin{eqnarray}\langle Tx,y\rangle =\mathop{\int}\limits_{\sigma (T)}\lambda \,\langle F(\lambda),x,y\rangle.\end{eqnarray} Eine Zahl λ ∈ ℝ ist genau dann ein Eigenwert von T, wenn F bei λ einen Sprung macht, d.h., wenn der Grenzwert bzgl. der starken Operatortopologie lim_ε→0⁺ (F(λ) − F(λ − ε)) von 0 verschieden ist. Ist T beschränkt, hat F einen kompakten Träger (im Sinn der Spektralscharen).

Neben der Integralform ist die Multiplikationsoperatorform des Spektralsatzes zu erwähnen. Diese besagt, daß jeder selbstadjungierte Operator zu einem Multiplikationsoperator auf einem geeigneten L²(μ)-Raum unitär äquivalent ist. Es existieren also ein Maßraum (Ω, Σ, μ), eine reellwertige meßbare Funktion h auf Ω und ein unitärer Operator U : H → L²(μ) mit \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}(UTU^* f)(\omega)=h(\omega)f(\omega) & \text{f}.\mathrm{\ddot{u}}\text{.};\end{array}\end{eqnarray} für alle f ∈ L²(μ) mit hf ∈ L²(μ); mit T ist auch h beschränkt. Genauer gesagt existieren (endlich oder unendlich viele) Maße μ_i auf σ(T) der Form μ_i(A) = ⟨E(A)x_i, x_i⟩ für geeignete x_i ∈ H, und es existiert ein unitärer Operator U: H → ⊕L²(μ_i) mit \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{(UTU^* f)}_{i}(\lambda)=\lambda {f}_{i}(\lambda) & \text{f}.\mathrm{\ddot{u}}\text{.}\end{array};\end{eqnarray} die Maße μ_i werden auch, wie das projektionswertige Maß E selbst, als Spektralmaße von T bezeichnet.

[1] Reed, M.; Simon, B.: Methods of Mathematical Physics I: Functional Analysis. Academic Press New York, 2. Auflage 1980.