Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Seien X ein glatte projektive algebraische Kurve vom Geschlecht g ≥ 2, und D ≥ 0 ein Divisor vom Grad d. D heißt speziell, wenn \begin{eqnarray}{h}^{1}(X,{{\mathcal{O}}}_{X}(D))\ne 0\end{eqnarray} ist. Äquivalent dazu ist: Für das lineare System |D| ist dim |D| >d − g.

Wie groß dim |D| werden kann, wird durch Clif-fords neorem beschrieben: Es gilt dim \(|D|\le \frac{d}{2}\) (für0 ≤ d ≤ 2g − 2), und wenn dim \(|D|=\frac{d}{2}\gt 0\) ist, soist X eine hyperelliptische Kurve.

Weiterhin gilt die Brill-Noether-Schranke: Im Raum J_g = Pic^g(X) aller Divisorenklassen vom Grad g (algebraische Kurven) sei \({W}_{d}^{r}\) die Mengealler Klassen |D| mit dim |D| ≥ r.

1. (a) Wenn \begin{eqnarray}\varrho =g-(r+1)(g-d+r)\ge 0\end{eqnarray} ist, so ist \({W}_{d}^{r}\ne \varnothing \).
2. (b) \({W}_{d}^{r}\) ist abgeschlossen, jede Komponente voneiner Dimension ≥ ϱ, und für allgemeine Kurven gilt Gleichheit.
3. (c) Wenn ϱ< 0, ist für allgemeine Kurven \({W}_{d}^{r}=\phi \). Es gibt also beispielsweise immer Morphismen X → ℙ¹ vom Grad \begin{eqnarray}1+\left[\frac{g+1}{2}\right].\end{eqnarray}