Stammfunktionen zu Funktionen, die nicht algebraisch sind.

Wichtige Vertreter transzendenter Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen, die Exponentialfunktion und die Hyperbelfunktionen sowie deren Umkehrfunktionen.

Hier seien nur wenige typische Vertreter behan-delt:

Ein unbestimmtes Integral der Form \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int}\limits^{x}}\limits_{}R({e}^{t})\,dt\end{eqnarray} kann umgeschrieben werden zu \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int}\limits^{x}}\limits_{}{R}_{1}({e}^{t}){e}^{t}\,dt=\mathop{\mathop{\int}\limits^{{e}^{x}}}\limits_{}{R}_{1}(s)\,ds,\end{eqnarray} ist also zurückgeführt auf die Überlegungen zur Integration rationaler Funktionen. Hier und beim folgenden Typ bezeichnen R und R₁ rationale Funktionen (einer Veränderlichen).

Stammfunktionen der Form \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int}\limits^{x}}\limits_{}p(t)R({e}^{t})\,dt\,\,\,\,\,\,\,\,\,(p\,\rm Polynom)\end{eqnarray} behandelt man mit partieller Integration, wobei man das Polynom jeweils differenziert und so den Grad reduziert.

Für \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int}\limits^{x}}\limits_{}R(\cos t, \sin t)\,dt\end{eqnarray} mit einer rationalen Funktion R von zwei Variablen hat man eine allgemeine Methode, die immer funktioniert, jedoch oft nicht vorteilhaft ist: Man benutzt \begin{eqnarray}\begin{array}{ccccc}\cos t & = & \cos \left(\displaystyle\frac{t}{2}+\frac{t}{2}\right) & = & \displaystyle\frac{{(\cos \frac{t}{2})}^{2}-{(\sin\frac{t}{2})}^{2}}{{(\cos\frac{t}{2})}^{2}+{(\sin\frac{t}{2})}^{2}}\\ & = & \displaystyle\frac{1-{(\tan\frac{t}{2})}^{2}}{1+{(\tan\frac{t}{2})}^{2}}, & & \end{array}\end{eqnarray} sowie \begin{eqnarray}\begin{array}{ccccc}\sin t & = & \sin \left(\displaystyle\frac{t}{2}+\frac{t}{2}\right) & = & \displaystyle\frac{2\sin \frac{t}{2}\cos \frac{t}{2}}{{(\cos\frac{t}{2})}^{2}+{(\sin\frac{t}{2})}^{2}}\\ & = & \displaystyle\frac{2\,\tan\frac{t}{2}}{1+{(\tan\frac{t}{2})}^{2}}, & & \end{array}\end{eqnarray} und substituiert \begin{eqnarray}s=\tan \frac{t}{2},\end{eqnarray} So erhält man t = 2 arctan s (evtl. nicht der Hauptzweig), \(\frac{dt}{ds}=\frac{2}{1+{s}^{2}}\) und somit für (1) \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int}\limits^{\tan \frac{x}{2}}}\limits_{}R\left(\frac{1-{s}^{2}}{1+{s}^{2}},\frac{2s}{1+{s}^{2}}\right)\frac{2}{1+{S}^{2}}ds=\mathop{\mathop{\int}\limits^{\tan \frac{x}{2}}}\limits_{}{R}_{1}(s)ds\end{eqnarray} mit einer rationalen Funktion (einer Veränderlichen) R₁. Also ist auch dieser Typ auf die Integration rationaler Funktionen zurückgeführt.

Oft sind ‚spezielle Methoden‘ günstiger: \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int}\limits^{x}}\limits_{}R({\rm sin} \, t)\,{\rm cos} \, t\, dt\end{eqnarray} mit einer rationalen Funktion (einer Veränderlichen) R wird mit der Substitution s = sin t zu \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int}\limits^{\sin x}}\limits_{}R(s)ds.\end{eqnarray} Entsprechend wird der Typ \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int}\limits^{x}}\limits_{}R(\cos t)\,{\sin t}\,dt\end{eqnarray} auf die Integration rationaler Funktionen zurückgeführt.

Eine weitere Möglichkeit sei nur an einem Beispiel gezeigt. Es ist \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\displaystyle \underset{}{\overset{x}{\int}}\frac{dt}{4{(\cos t)}^{2}-{(\sin t)}^{2}} & = & \displaystyle \underset{}{\overset{x}{\int}}\frac{1}{4-{(\tan t)}^{2}}\frac{1}{{(\cos t)}^{2}}dt\\ & = & \displaystyle \underset{}{\overset{\tan x}{\int}}\frac{ds}{4-{s}^{2}}\\ & = & \displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle \underset{}{\overset{\tan x}{\int}}\left(\frac{1}{s+2}-\frac{1}{s-2}\right)ds\\ & = & \displaystyle\frac{1}{4}\ln \left|\frac{\tan x+2}{\tan x-2}\right|\\ & = & \displaystyle\frac{1}{4}\ln \left|\frac{\sin x+2\cos x}{\sin x-2\cos x}\right|.\end{array}\end{eqnarray} Der Spezialfall \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int}\limits^{x}}\limits_{}{(\cos t)}^{n}{(\sin t)}^{m}dt\,\,\,\,\,\,\,(n,m\in {{\mathbb{N}}}_{0})\end{eqnarray} kann – unter Beachtung von (cos t)² + (sin t)² = 1 – im Fall n oder m ungerade auf (2) zurückgeführt werden. Sind n und m gerade, so gewinnt man Rekursionsformeln durch partielle Integration oder formt mit Hilfe der Beziehung \begin{eqnarray}\cos a\cos b=\frac{1}{2}(\cos(a-b)+\cos(a+b))\end{eqnarray} (für reelle a, b) um.