Verschärfung des Begriffs der Eindeutigkeit bester Approximationen.

Es sei C[a, b] die Menge der stetigen Funktionen auf [a, b], G ⊆ C[a, b] ein Teilraum, und ||.||_∞ die Maximumnorm. Eine Funktion g_f ∈ G heißt stark eindeutig beste Approximation an f ∈ C[a,b], wenn eine Konstante K_f > 0 so existiert, daß für alle g ∈ G\begin{eqnarray}{\Vert f-{g}_{f}\Vert}_{\infty}+{K}_{f}{\Vert g-{g}_{f}\Vert}_{\infty}\le {\Vert f-g\Vert}_{\infty}\end{eqnarray} gilt. Die starke Eindeutigkeitskonstante K von f ist dann definiert als das Maximum über alle solche Konstanten K_f.

Aus der Definition folgt, daß jede stark eindeutig beste Approximation auch eine beste Approximation ist, welche eindeutig ist. Die Umkehrung gilt jedoch im allgemeinen nicht: (Eindeutige) beste Approximationen sind im allgemeinen nicht stark eindeutig. Diese Umkehrung gilt jedoch für Haarsche Räume, dort stimmen eindeutige und stark eindeutige beste Approximationen überein.

Das folgende Resultat von D. E. Wulbert aus dem Jahr 1971 charakterisiert stark eindeutig beste Approximationen durch ein Kolmogorow-Kriterium.

Eine Funktion g_f ∈ G ist genau dann stark eindeutig beste Approximation an f ∈ C[a, b] hinsichtlich ||.||_∞, wenn für jede Funktion g ∈ G \ {0} \begin{eqnarray}\mathop{\min}\limits_{t\in E(f-{g}_{f})}(f-{g}_{f})(t)g(t)\lt 0\end{eqnarray}gilt. Hierbei ist\begin{eqnarray}E(f-{g}_{f})=\{t\in [a,b]:|(f-{g}_{f})(t)|={\Vert f-{g}_{f}\Vert}_{\infty}\}\end{eqnarray}die Menge der Extremalpunkte von f − gf.