eine, wie der Name schon andeutet, Verschärfung des schwachen Gesetzes der großen Zahlen.

Man sagt, daß eine Folge \({({X}_{n})}_{n\in {\mathbb{N}}}\) von auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega, {\mathfrak{A}},p)\) definierten reellen Zufallsvariablen mit \(E(|{X}_{n}|)\lt \infty \) für alle \(n\in {\mathbb{N}}\) dem starken Gesetz der großen Zahlen genügt, wenn P-fast sicher \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty}\frac{{S}_{n}-E({S}_{n})}{n}=0\end{eqnarray} gilt, wobei \({S}_{n}={\sum}_{i=1}^{n}{X}_{n}\) die n-te Partialsumme der Folge bezeichnet. Jede Folge, die dem starken Gesetz der großen Zahlen genügt, erfüllt auch das schwache Gesetz der großen Zahlen. Die Umkehrung gilt i. allg. nicht.

Für beliebige unabhängige Folgen \({({X}_{n})}_{n\in {\mathbb{N}}}\) von Zufallsgrößen mit endlichen Varianzen konnte Kolmogorow zeigen, daß die Bedingung \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}\frac{\mathrm{var}({X}_{n})}{{n}^{2}}\lt \infty \end{eqnarray} für die Gültigkeit des starken Gesetzes der großen Zahlen hinreichend ist. Weiterhin konnte er zeigen, daß jede unabhängige Folge (X_n)_n∈ℕ von identisch verteilten reellen Zufallsvariablen mit E(|X_n|) < ∞ dem starken Gesetz der großen Zahlen genügt. In diesem Fall konvergiert das arithmetische Mittel S_n/n fast sicher gegen den gemeinsamen Erwartungswert der X_n. Ist umgekehrt (X_n)_n∈ℕ eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsgrößen, für die S/n fast sicher gegen eine Konstante c ∈ ℝ konvergiert, so folgt E(|X_n|) < ∞ und E(X_n) = c. Ein eleganter elementarer Beweis des starken Gesetzes der großen Zahlen für paarweise unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen wurde im Jahre 1981 von Etemadi angegeben.

Das klassische Beispiel für das starke Gesetz der großen Zahlen stellen unabhängige Wiederholungen eines Bernoulli-Experimentes dar. Ist (X_n)_n∈ℕ eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Bernoulli-Variablen mit Erfolgswahrscheinlichkeit P(X_n = 1) = p, so gibt S_n die Anzahl der Erfolge bei n Wiederholungen des Experimentes an. Aufgrund des starken Gesetzes konvergiert die relative Häufigkeit für einen Erfolg S_n/n dann fast sicher gegen p. Das starke Gesetz der großen Zahlen liefert somit die Grundlage für die frequentistische Interpretation von Wahrscheinlichkeiten. Wirft man etwa wiederholt eine Münze und faßt man bei jedem Wurf das Aufteten eines Wappens als Erfolg auf, so stabilisiert sich die relative Häufigkeit S_n/n mit zunehmender Anzahl der Würfe bei der Erfolgswahrscheinlichkeit p. Das starke Gesetz ist weiterhin von Bedeutung für die Statistik und stellt die Grundlage der Monte-Carlo-Methode dar.