Pitchfork-Bifurkation, spezielle Bifurkation.

Es sei (µ, x) → Φ_µ(x) eine C² -Abbildung J × W → E, wobei W eine offene Teilmege des Banachraumes E, µ ∈ J und J ⊂ ℝ ist, so daß Φ_µ(x) für jedes µ r-mal stetig differenzierbar ist, wobei 3 ≤ r. Sei weiterhin (0, 0) ∈ (J × W) ein Fixpunkt von Φ_µ(x), also Φ_µ(0) = 0 für alle \(\mu ({\alpha}_{\mu}^{1}=0)\). Das Spektrum der Jacobi-Matrix D₀ Φ_µ sei in {z : |z| < 1} enthalten, mit Ausnahme der beiden Eigenwerte α_µ und \({\alpha}_{\mu}^{-}\). Für \({\alpha}_{\mu}^{1}=0\) ist dann \({D}_{{x}_{0}}^{2}{\Phi}_{\mu}({x}_{0})=0\). Damit eine Stimmgabel-Bifurkation auftritt, muß daher gelten:

1) \(\frac{{d}^{1}{\Phi}_{{\mu}_{0}}({x}_{0})}{d\mu dx}=0,\) und

2) \({D}_{{x}_{0}}^{3}{\Phi}_{{\mu}_{0}}\ne 0.\)

In Abhängigkeit von den Vorzeichen der Koeffizienten C der dritten Ableitung unterscheidet man die superkritische oder direkte Stimmgabel-Bifurkation (für C< 0) und die subkritische oder invertierte Stimmgabel-Bifurkation (für C > 0). Stimmgabel-Bifurkation tritt nur für symmetrische Systeme auf, d. h. solche, die invariant unter einer Transformation x → −x sind. Aus diesem Grunde sind keine Sattel-Knoten-Fixpunkte möglich.